प्री-कैलकुलस उदाहरण

$5 x^{3} - 24 x^{2} + x + 12$

चरण 1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 5$

चरण 2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 12, \pm 2.4, \pm 2, \pm 0.4, \pm 6, \pm 1.2, \pm 3, \pm 0.6, \pm 4, \pm 0.8$

चरण 3

$0.8$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $0.8$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$0.8$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$5 \cdot {0.8}^{3} - 24 \cdot {0.8}^{2} + 0.8 + 12$

चरण 3.2

$0.8$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$5 \cdot 0.512 - 24 \cdot {0.8}^{2} + 0.8 + 12$

चरण 3.3

$5$ को $0.512$ से गुणा करें.

$2.56 - 24 \cdot {0.8}^{2} + 0.8 + 12$

चरण 3.4

$0.8$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$2.56 - 24 \cdot 0.64 + 0.8 + 12$

चरण 3.5

$- 24$ को $0.64$ से गुणा करें.

$2.56 - 15.36 + 0.8 + 12$

चरण 3.6

$2.56$ में से $15.36$ घटाएं.

$- 12.8 + 0.8 + 12$

चरण 3.7

$- 12.8$ और $0.8$ जोड़ें.

$- 12 + 12$

चरण 3.8

$- 12$ और $12$ जोड़ें.

$0$

चरण 4

चूँकि $0.8$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $5 x - 4$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{5 x^{3} - 24 x^{2} + x + 12}{5 x - 4}$

चरण 5

$5 x^{3} - 24 x^{2} + x + 12$ को $5 x - 4$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$5 x$

$4$

$5 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$12$

चरण 5.2

भाज्य $5 x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $5 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$

चरण 5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			+	$5 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

चरण 5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $5 x^{3} - 4 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

चरण 5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$

चरण 5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$x$

चरण 5.7

भाज्य $- 20 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $5 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$x$

चरण 5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$x$
					-	$20 x^{2}$	+	$16 x$

चरण 5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 20 x^{2} + 16 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$4 x$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$x$
					+	$20 x^{2}$	-	$16 x$

चरण 5.10

				$x^{2}$	-	$4 x$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$x$
					+	$20 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$15 x$

चरण 5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$x$
					+	$20 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$15 x$	+	$12$

चरण 5.12

भाज्य $- 15 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $5 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$3$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$x$
					+	$20 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$15 x$	+	$12$

चरण 5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$3$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$x$
					+	$20 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$15 x$	+	$12$
							-	$15 x$	+	$12$

चरण 5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 15 x + 12$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$3$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$x$
					+	$20 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$15 x$	+	$12$
							+	$15 x$	-	$12$

चरण 5.15

				$x^{2}$	-	$4 x$	-	$3$
$5 x$	-	$4$		$5 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$x$	+	$12$
			-	$5 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$x$
					+	$20 x^{2}$	-	$16 x$
							-	$15 x$	+	$12$
							+	$15 x$	-	$12$
										$0$

चरण 5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} - 4 x - 3$

चरण 6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $5 x^{3} - 24 x^{2} + x + 12$ लिखें.

$(5 x - 4) (x^{2} - 4 x - 3)$