प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7$

चरण 1

x- अंत:खंड ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

x- अंत:खंड(अंत:खंडों) को ज्ञात करने के लिए, $0$ में $y$ को प्रतिस्थापित करें और $x$ को हल करें.

$0 = x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7$

चरण 1.2

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

समीकरण को $x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7 = 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7 = 0$

चरण 1.2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

पदों को फिर से समूहित करें.

$x^{5} + 2 x^{3} + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

चरण 1.2.2.2

$x^{5} + 2 x^{3} + x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1

$x^{5}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x \cdot x^{4} + 2 x^{3} + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

चरण 1.2.2.2.2

$2 x^{3}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

चरण 1.2.2.2.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

चरण 1.2.2.2.4

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x \cdot 1 + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

चरण 1.2.2.2.5

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2})$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1 + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

चरण 1.2.2.2.6

$x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x (x^{4} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

चरण 1.2.2.3

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

चरण 1.2.2.4

मान लीजिए $u = x^{2}$ . $x^{2}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$x (u^{2} + 2 u + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

चरण 1.2.2.5

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.5.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x (u^{2} + 2 u + 1^{2}) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

चरण 1.2.2.5.2

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

चरण 1.2.2.5.3

बहुपद को फिर से लिखें.

$x (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

चरण 1.2.2.5.4

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = u$ और $b = 1$ है.

$x {(u + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

चरण 1.2.2.6

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

चरण 1.2.2.7

$7 x^{4} + 14 x^{2} + 7$ में से $7$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.7.1

$7 x^{4}$ में से $7$ का गुणनखंड करें.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 14 x^{2} + 7 = 0$

चरण 1.2.2.7.2

$14 x^{2}$ में से $7$ का गुणनखंड करें.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2}) + 7 = 0$

चरण 1.2.2.7.3

$7$ में से $7$ का गुणनखंड करें.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2}) + 7 (1) = 0$

चरण 1.2.2.7.4

$7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2})$ में से $7$ का गुणनखंड करें.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2}) + 7 (1) = 0$

चरण 1.2.2.7.5

$7 (x^{4} + 2 x^{2}) + 7 (1)$ में से $7$ का गुणनखंड करें.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) = 0$

चरण 1.2.2.8

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) = 0$

चरण 1.2.2.9

मान लीजिए $u = x^{2}$ . $x^{2}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

चरण 1.2.2.10

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.10.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

चरण 1.2.2.10.2

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

चरण 1.2.2.10.3

बहुपद को फिर से लिखें.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

चरण 1.2.2.10.4

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(u + 1)}^{2} = 0$

चरण 1.2.2.11

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

चरण 1.2.2.12

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(x^{2} + 1)}^{2}$ में से ${(x^{2} + 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.12.1

$x {(x^{2} + 1)}^{2}$ में से ${(x^{2} + 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

${(x^{2} + 1)}^{2} x + 7 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

चरण 1.2.2.12.2

$7 {(x^{2} + 1)}^{2}$ में से ${(x^{2} + 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

${(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 7 = 0$

चरण 1.2.2.12.3

${(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 7$ में से ${(x^{2} + 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$

चरण 1.2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

$x + 7 = 0$

चरण 1.2.4

${(x^{2} + 1)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

${(x^{2} + 1)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

चरण 1.2.4.2

$x$ के लिए ${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1

$x^{2} + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} + 1 = 0$

चरण 1.2.4.2.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x^{2} = - 1$

चरण 1.2.4.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

चरण 1.2.4.2.2.3

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i$

चरण 1.2.4.2.2.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.2.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = i$

चरण 1.2.4.2.2.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - i$

चरण 1.2.4.2.2.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = i, - i$

चरण 1.2.5

$x + 7$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

$x + 7$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 7 = 0$

चरण 1.2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $7$ घटाएं.

$x = - 7$

चरण 1.2.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो ${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = i, - i, - 7$

चरण 1.3

x- अंत:खंड(अंत:खंडों) एक बिन्दु के रूप में.

x- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(- 7, 0)$

चरण 2

y- अंत:खंड पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

y- अंत:खंड (ओं) को ज्ञात करने के लिए, $0$ में $x$ को प्रतिस्थापित करें और $y$ को हल करें.

$y = {(0)}^{5} + 7 {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} + 14 {(0)}^{2} + 0 + 7$

चरण 2.2

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = {(0)}^{5} + 7 {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} + 14 {(0)}^{2} + 0 + 7$

चरण 2.2.2

कोष्ठक हटा दें.

$y = 0^{5} + 7 {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} + 14 {(0)}^{2} + 0 + 7$

चरण 2.2.3

कोष्ठक हटा दें.

$y = 0^{5} + 7 \cdot 0^{4} + 2 {(0)}^{3} + 14 {(0)}^{2} + 0 + 7$

चरण 2.2.4

कोष्ठक हटा दें.

$y = 0^{5} + 7 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{3} + 14 {(0)}^{2} + 0 + 7$

चरण 2.2.5

कोष्ठक हटा दें.

$y = 0^{5} + 7 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{3} + 14 \cdot 0^{2} + 0 + 7$

चरण 2.2.6

कोष्ठक हटा दें.

$y = {(0)}^{5} + 7 {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} + 14 {(0)}^{2} + 0 + 7$

चरण 2.2.7

${(0)}^{5} + 7 {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} + 14 {(0)}^{2} + 0 + 7$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.7.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.7.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$y = 0 + 7 {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} + 14 {(0)}^{2} + 0 + 7$

चरण 2.2.7.1.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$y = 0 + 7 \cdot 0 + 2 {(0)}^{3} + 14 {(0)}^{2} + 0 + 7$

चरण 2.2.7.1.3

$7$ को $0$ से गुणा करें.

$y = 0 + 0 + 2 {(0)}^{3} + 14 {(0)}^{2} + 0 + 7$

चरण 2.2.7.1.4

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$y = 0 + 0 + 2 \cdot 0 + 14 {(0)}^{2} + 0 + 7$

चरण 2.2.7.1.5

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$y = 0 + 0 + 0 + 14 {(0)}^{2} + 0 + 7$

चरण 2.2.7.1.6

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$y = 0 + 0 + 0 + 14 \cdot 0 + 0 + 7$

चरण 2.2.7.1.7

$14$ को $0$ से गुणा करें.

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 7$

चरण 2.2.7.2

संख्याओं को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.7.2.1

$0$ और $0$ जोड़ें.

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 7$

चरण 2.2.7.2.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$y = 0 + 0 + 0 + 7$

चरण 2.2.7.2.3

$0$ और $0$ जोड़ें.

$y = 0 + 0 + 7$

चरण 2.2.7.2.4

$0$ और $0$ जोड़ें.

$y = 0 + 7$

चरण 2.2.7.2.5

$0$ और $7$ जोड़ें.

$y = 7$

चरण 2.3

y- अंत:खंड(अंत:खंडों) एक बिन्दु के रूप में.

y- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(0, 7)$

चरण 3

प्रतिच्छेदनों को सूचीबद्ध करें.

x- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(- 7, 0)$

y- अंत:खंड(अंत:खंडों): $(0, 7)$

चरण 4