प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \sqrt{x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12}$

चरण 1

रेडिकैंड को $\sqrt{x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12}$ में $0$ से बड़ा या उसके बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां परिभाषित किया गया है.

$x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12 \geq 0$

चरण 2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

असमानता को समीकरण में बदलें.

$x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12 = 0$

चरण 2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

चरण 2.2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

चरण 2.2.1.3

$- 1$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $- 1$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.3.1

$- 1$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

${(- 1)}^{3} + 8 {(- 1)}^{2} + 19 \cdot - 1 + 12$

चरण 2.2.1.3.2

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1 + 8 {(- 1)}^{2} + 19 \cdot - 1 + 12$

चरण 2.2.1.3.3

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1 + 8 \cdot 1 + 19 \cdot - 1 + 12$

चरण 2.2.1.3.4

$8$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1 + 8 + 19 \cdot - 1 + 12$

चरण 2.2.1.3.5

$- 1$ और $8$ जोड़ें.

$7 + 19 \cdot - 1 + 12$

चरण 2.2.1.3.6

$19$ को $- 1$ से गुणा करें.

$7 - 19 + 12$

चरण 2.2.1.3.7

$7$ में से $19$ घटाएं.

$- 12 + 12$

चरण 2.2.1.3.8

$- 12$ और $12$ जोड़ें.

$0$

चरण 2.2.1.4

चूँकि $- 1$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x + 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12}{x + 1}$

चरण 2.2.1.5

$x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12$ को $x + 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$19 x$

$12$

चरण 2.2.1.5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$

चरण 2.2.1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

चरण 2.2.1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} + x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

चरण 2.2.1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

चरण 2.2.1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$

चरण 2.2.1.5.7

भाज्य $7 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$

चरण 2.2.1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					+	$7 x^{2}$	+	$7 x$

चरण 2.2.1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $7 x^{2} + 7 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$

चरण 2.2.1.5.10

				$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$12 x$

चरण 2.2.1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$12 x$	+	$12$

चरण 2.2.1.5.12

भाज्य $12 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$12$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$12 x$	+	$12$

चरण 2.2.1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$12$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$12 x$	+	$12$
							+	$12 x$	+	$12$

चरण 2.2.1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $12 x + 12$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$12$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$12 x$	+	$12$
							-	$12 x$	-	$12$

चरण 2.2.1.5.15

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$12$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$12 x$	+	$12$
							-	$12 x$	-	$12$
										$0$

चरण 2.2.1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} + 7 x + 12$

चरण 2.2.1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12$ लिखें.

$(x + 1) (x^{2} + 7 x + 12) = 0$

चरण 2.2.2

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + 7 x + 12$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + 7 x + 12$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $12$ है और जिसका योग $7$ है.

$3, 4$

चरण 2.2.2.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(x + 1) ((x + 3) (x + 4)) = 0$

चरण 2.2.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x + 1) (x + 3) (x + 4) = 0$

चरण 2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

$x + 4 = 0$

चरण 2.4

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 1 = 0$

चरण 2.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 2.5

$x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 3 = 0$

चरण 2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$x = - 3$

चरण 2.6

$x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

$x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 4 = 0$

चरण 2.6.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$x = - 4$

चरण 2.7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x + 1) (x + 3) (x + 4) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 1, - 3, - 4$

चरण 2.8

परीक्षण अंतराल बनाने के लिए प्रत्येक मूल का प्रयोग करें.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 3$

$- 3 < x < - 1$

$x > - 1$

चरण 2.9

प्रत्येक अंतराल से एक परीक्षण मान चुनें और यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से अंतराल असमानता को संतुष्ट करते हैं, इस मान को मूल असमानता में प्लग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.9.1

अंतराल $x < - 4$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.9.1.1

अंतराल $x < - 4$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 6$

चरण 2.9.1.2

मूल असमानता में $x$ को $- 6$ से बदलें.

${(- 6)}^{3} + 8 {(- 6)}^{2} + 19 (- 6) + 12 \geq 0$

चरण 2.9.1.3

बाईं ओर $- 30$ दाईं ओर $0$ से छोटा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

False

चरण 2.9.2

अंतराल $- 4 < x < - 3$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.9.2.1

अंतराल $- 4 < x < - 3$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 3.5$

चरण 2.9.2.2

मूल असमानता में $x$ को $- 3.5$ से बदलें.

${(- 3.5)}^{3} + 8 {(- 3.5)}^{2} + 19 (- 3.5) + 12 \geq 0$

चरण 2.9.2.3

बाईं ओर $0.625$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

True

चरण 2.9.3

अंतराल $- 3 < x < - 1$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.9.3.1

अंतराल $- 3 < x < - 1$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 2$

चरण 2.9.3.2

मूल असमानता में $x$ को $- 2$ से बदलें.

${(- 2)}^{3} + 8 {(- 2)}^{2} + 19 (- 2) + 12 \geq 0$

चरण 2.9.3.3

बाईं ओर $- 2$ दाईं ओर $0$ से छोटा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

False

चरण 2.9.4

अंतराल $x > - 1$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.9.4.1

अंतराल $x > - 1$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 0$

चरण 2.9.4.2

मूल असमानता में $x$ को $0$ से बदलें.

${(0)}^{3} + 8 {(0)}^{2} + 19 (0) + 12 \geq 0$

चरण 2.9.4.3

बाईं ओर $12$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

True

चरण 2.9.5

यह निर्धारित करने के लिए अंतराल की तुलना करें कि कौन से तत्व मूल असमानता को संतुष्ट करते हैं.

$x < - 4$ गलत

$- 4 < x < - 3$ सही

$- 3 < x < - 1$ गलत

$x > - 1$ सही

$x < - 4$ गलत

$- 4 < x < - 3$ सही

$- 3 < x < - 1$ गलत

$x > - 1$ सही

चरण 2.10

हल में सभी सच्चे अंतराल होते हैं.

$- 4 \leq x \leq - 3$ या $x \geq - 1$

चरण 3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$[- 4, - 3] \cup [- 1, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | - 4 \leq x \leq - 3, x \geq - 1}$

चरण 4