प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$

चरण 1

$f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$ को एक समीकरण के रूप में लिखें.

$y = \frac{x^{3} - 1}{2}$

चरण 2

चर को एकदूसरे के साथ बदलें.

$x = \frac{y^{3} - 1}{2}$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण को $\frac{y^{3} - 1}{2} = x$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{y^{3} - 1}{2} = x$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 \frac{y^{3} - 1}{2} = 2 x$

चरण 3.3

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{y^{3} - 1}{2} = 2 x$

चरण 3.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y^{3} - 1 = 2 x$

चरण 3.4

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$y^{3} = 2 x + 1$

चरण 3.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{2 x + 1}$

चरण 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$

चरण 5

सत्यापित करें कि क्या $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$ , $f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$ का व्युत्क्रम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्युत्क्रम सत्यापित करने के लिए, जांचें कि क्या $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

चरण 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f^{- 1} (f (x))$

चरण 5.2.2

$f^{- 1}$ में $f$ का मान प्रतिस्थापित करके $f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2})$ का मान ज्ञात करें.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3} - 1}{2}) + 1}$

चरण 5.2.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

$1$ को $1^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3} - 1^{3}}{2}) + 1}$

चरण 5.2.3.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण घन हैं, घन सूत्र के अंतर का उपयोग करने वाले गुणनखंड $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ जहाँ $a = x$ और $b = 1$ हैं.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}{2}) + 1}$

चरण 5.2.3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.3.1

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}{2}) + 1}$

चरण 5.2.3.3.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{2}) + 1}$

चरण 5.2.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{2}) + 1}$

चरण 5.2.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 1}$

चरण 5.2.5

प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ का प्रसार करें.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1 + 1}$

चरण 5.2.6

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.1

$x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.1.1

गुणनखंडों को $x \cdot 1$ और $- 1 x$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1 + 1}$

चरण 5.2.6.1.2

$1 x$ में से $1 x$ घटाएं.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} + 0 - 1 \cdot 1 + 1}$

चरण 5.2.6.1.3

$x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

चरण 5.2.6.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.2.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.2.1.1

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.2.1.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

चरण 5.2.6.2.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{1 + 2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

चरण 5.2.6.2.1.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

चरण 5.2.6.2.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

चरण 5.2.6.2.3

$- 1 x^{2}$ को $- x^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

चरण 5.2.6.2.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1 + 1}$

चरण 5.2.6.3

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.3.1

$x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.3.1.1

$x^{2}$ में से $x^{2}$ घटाएं.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0 - 1 + 1}$

चरण 5.2.6.3.1.2

$x^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} - 1 + 1}$

चरण 5.2.6.3.2

संख्याओं को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.3.2.1

$- 1$ और $1$ जोड़ें.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

चरण 5.2.6.3.2.2

$x^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

चरण 5.2.7

वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत से पदों को बाहर निकालें.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = x$

चरण 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f (f^{- 1} (x))$

चरण 5.3.2

$f$ में $f^{- 1}$ का मान प्रतिस्थापित करके $f (\sqrt[3]{2 x + 1})$ का मान ज्ञात करें.

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x + 1})}^{3} - 1}{2}$

चरण 5.3.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

$1$ को $1^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{{\sqrt[3]{2 x + 1}}^{3} - 1^{3}}{2}$

चरण 5.3.3.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण घन हैं, घन सूत्र के अंतर का उपयोग करने वाले गुणनखंड $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ जहाँ $a = \sqrt[3]{2 x + 1}$ और $b = 1$ हैं.

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) ({\sqrt[3]{2 x + 1}}^{2} + \sqrt[3]{2 x + 1} \cdot 1 + 1^{2})}{2}$

चरण 5.3.3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.3.1

${\sqrt[3]{2 x + 1}}^{2}$ को $\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) (\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{2 x + 1} \cdot 1 + 1^{2})}{2}$

चरण 5.3.3.3.2

$\sqrt[3]{2 x + 1}$ को $1$ से गुणा करें.

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) (\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{2 x + 1} + 1^{2})}{2}$

चरण 5.3.3.3.3

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) (\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{2 x + 1} + 1)}{2}$

चरण 5.4

चूँकि $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ , तो $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$ , $f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$ का व्युत्क्रम है.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$