प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$

चरण 1

$f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$ को एक समीकरण के रूप में लिखें.

$y = 2 \sqrt{x} + 3$

चरण 2

चर को एकदूसरे के साथ बदलें.

$x = 2 \sqrt{y} + 3$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण को $2 \sqrt{y} + 3 = x$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 \sqrt{y} + 3 = x$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$2 \sqrt{y} = x - 3$

चरण 3.3

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें.

${(2 \sqrt{y})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

चरण 3.4

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$\sqrt{y}$ को $y^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

चरण 3.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1.1

उत्पाद नियम को $2 y^{\frac{1}{2}}$ पर लागू करें.

$2^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

चरण 3.4.2.1.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

चरण 3.4.2.1.3

घातांक को ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

चरण 3.4.2.1.3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

चरण 3.4.2.1.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$4 y^{1} = {(x - 3)}^{2}$

चरण 3.4.2.1.4

सरल करें.

$4 y = {(x - 3)}^{2}$

चरण 3.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1

${(x - 3)}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1.1

${(x - 3)}^{2}$ को $(x - 3) (x - 3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 y = (x - 3) (x - 3)$

चरण 3.4.3.1.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(x - 3) (x - 3)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 y = x (x - 3) - 3 (x - 3)$

चरण 3.4.3.1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 y = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)$

चरण 3.4.3.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 y = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

चरण 3.4.3.1.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1.3.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$4 y = x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

चरण 3.4.3.1.3.1.2

$- 3$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 y = x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3$

चरण 3.4.3.1.3.1.3

$- 3$ को $- 3$ से गुणा करें.

$4 y = x^{2} - 3 x - 3 x + 9$

चरण 3.4.3.1.3.2

$- 3 x$ में से $3 x$ घटाएं.

$4 y = x^{2} - 6 x + 9$

चरण 3.5

$4 y = x^{2} - 6 x + 9$ के प्रत्येक पद को $4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$4 y = x^{2} - 6 x + 9$ के प्रत्येक पद को $4$ से विभाजित करें.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{9}{4}$

चरण 3.5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{9}{4}$

चरण 3.5.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{9}{4}$

चरण 3.5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1.1

$- 6$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1.1.1

$- 6 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{4} + \frac{9}{4}$

चरण 3.5.3.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1.1.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (2)} + \frac{9}{4}$

चरण 3.5.3.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 2} + \frac{9}{4}$

चरण 3.5.3.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{9}{4}$

चरण 3.5.3.1.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$

चरण 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$

चरण 5

सत्यापित करें कि क्या $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$ , $f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$ का व्युत्क्रम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्युत्क्रम सत्यापित करने के लिए, जांचें कि क्या $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

चरण 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f^{- 1} (f (x))$

चरण 5.2.2

$f^{- 1}$ में $f$ का मान प्रतिस्थापित करके $f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3)$ का मान ज्ञात करें.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2} + \frac{9}{4}$

चरण 5.2.3

$- \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{4}$

चरण 5.2.4

प्रत्येक व्यंजक को $4$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1

$\frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{4}$

चरण 5.2.4.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2}{4} + \frac{9}{4}$

चरण 5.2.5

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2}{4} + \frac{9}{4}$

चरण 5.2.5.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2 + 9}{4}$

चरण 5.2.5.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} + (- 3 (2 \sqrt{x}) - 3 \cdot 3) \cdot 2 + 9}{4}$

चरण 5.2.5.3.2

$2$ को $- 3$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} + (- 6 \sqrt{x} - 3 \cdot 3) \cdot 2 + 9}{4}$

चरण 5.2.5.3.3

$- 3$ को $3$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} + (- 6 \sqrt{x} - 9) \cdot 2 + 9}{4}$

चरण 5.2.5.3.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 6 \sqrt{x} \cdot 2 - 9 \cdot 2 + 9}{4}$

चरण 5.2.5.3.5

$2$ को $- 6$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 12 \sqrt{x} - 9 \cdot 2 + 9}{4}$

चरण 5.2.5.3.6

$- 9$ को $2$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 12 \sqrt{x} - 18 + 9}{4}$

चरण 5.2.5.4

$- 18$ और $9$ जोड़ें.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 12 \sqrt{x} - 9}{4}$

चरण 5.2.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.1

मान लीजिए $u = \sqrt{x}$ . $\sqrt{x}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.1.1

$12 u$ में से $12 u$ घटाएं.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2} + 0 + 9 - 9}{4}$

चरण 5.2.6.1.2

$4 u^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2} + 9 - 9}{4}$

चरण 5.2.6.1.3

$9$ में से $9$ घटाएं.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2} + 0}{4}$

चरण 5.2.6.1.4

$4 u^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2}}{4}$

चरण 5.2.6.2

$u$ की सभी घटनाओं को $\sqrt{x}$ से बदलें.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 {\sqrt{x}}^{2}}{4}$

चरण 5.2.6.3

${\sqrt{x}}^{2}$ को $x$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.3.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

चरण 5.2.6.3.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

चरण 5.2.6.3.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x^{\frac{2}{2}}}{4}$

चरण 5.2.6.3.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.3.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x^{\frac{2}{2}}}{4}$

चरण 5.2.6.3.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x}{4}$

चरण 5.2.6.3.5

सरल करें.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x}{4}$

चरण 5.2.7

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.7.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x}{4}$

चरण 5.2.7.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = x$

चरण 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f (f^{- 1} (x))$

चरण 5.3.2

$f$ में $f^{- 1}$ का मान प्रतिस्थापित करके $f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4})$ का मान ज्ञात करें.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

चरण 5.3.3

कोष्ठक हटा दें.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

चरण 5.3.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{2^{2}} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

चरण 5.3.4.1.2

$\frac{x^{2}}{2^{2}}$ को ${(\frac{x}{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

चरण 5.3.4.1.3

$9$ को $3^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{3^{2}}{4}} + 3$

चरण 5.3.4.1.4

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{3^{2}}{2^{2}}} + 3$

चरण 5.3.4.1.5

$\frac{3^{2}}{2^{2}}$ को ${(\frac{3}{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + {(\frac{3}{2})}^{2}} + 3$

चरण 5.3.4.1.6

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$\frac{3 x}{2} = 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{2}$

चरण 5.3.4.1.7

बहुपद को फिर से लिखें.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{2} + {(\frac{3}{2})}^{2}} + 3$

चरण 5.3.4.1.8

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = \frac{x}{2}$ और $b = \frac{3}{2}$ है.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2} - \frac{3}{2})}^{2}} + 3$

चरण 5.3.4.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x - 3}{2})}^{2}} + 3$

चरण 5.3.4.3

उत्पाद नियम को $\frac{x - 3}{2}$ पर लागू करें.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{2^{2}}} + 3$

चरण 5.3.4.4

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{4}} + 3$

चरण 5.3.4.5

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{2^{2}}} + 3$

चरण 5.3.4.6

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{2^{2}}$ को ${(\frac{x - 3}{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x - 3}{2})}^{2}} + 3$

चरण 5.3.4.7

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 (\frac{x - 3}{2}) + 3$

चरण 5.3.4.8

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.8.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 (\frac{x - 3}{2}) + 3$

चरण 5.3.4.8.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = x - 3 + 3$

चरण 5.3.5

$x - 3 + 3$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.5.1

$- 3$ और $3$ जोड़ें.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = x + 0$

चरण 5.3.5.2

$x$ और $0$ जोड़ें.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = x$

चरण 5.4

चूँकि $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ , तो $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$ , $f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$ का व्युत्क्रम है.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$