प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 3 x^{2} + 6$

चरण 1

$f (x) = 3 x^{2} + 6$ को एक समीकरण के रूप में लिखें.

$y = 3 x^{2} + 6$

चरण 2

चर को एकदूसरे के साथ बदलें.

$x = 3 y^{2} + 6$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण को $3 y^{2} + 6 = x$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 y^{2} + 6 = x$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $6$ घटाएं.

$3 y^{2} = x - 6$

चरण 3.3

$3 y^{2} = x - 6$ के प्रत्येक पद को $3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$3 y^{2} = x - 6$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 6}{3}$

चरण 3.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 6}{3}$

चरण 3.3.2.1.2

$y^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y^{2} = \frac{x}{3} + \frac{- 6}{3}$

चरण 3.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

$- 6$ को $3$ से विभाजित करें.

$y^{2} = \frac{x}{3} - 2$

चरण 3.4

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{3} - 2}$

चरण 3.5

$\pm \sqrt{\frac{x}{3} - 2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$- 2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}}$

चरण 3.5.2

$- 2$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}}$

चरण 3.5.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 2 \cdot 3}{3}}$

चरण 3.5.4

$- 2$ को $3$ से गुणा करें.

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 6}{3}}$

चरण 3.5.5

$\sqrt{\frac{x - 6}{3}}$ को $\frac{\sqrt{x - 6}}{\sqrt{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 6}}{\sqrt{3}}$

चरण 3.5.6

$\frac{\sqrt{x - 6}}{\sqrt{3}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 6}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

चरण 3.5.7

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.7.1

$\frac{\sqrt{x - 6}}{\sqrt{3}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 6} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

चरण 3.5.7.2

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 6} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

चरण 3.5.7.3

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 6} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

चरण 3.5.7.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 6} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

चरण 3.5.7.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 6} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

चरण 3.5.7.6

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.7.6.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 6} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 3.5.7.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 6} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 3.5.7.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 6} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 3.5.7.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.7.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 6} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 3.5.7.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 6} \sqrt{3}}{3^{1}}$

चरण 3.5.7.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 6} \sqrt{3}}{3}$

चरण 3.5.8

रेडिकल के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करके जोड़ें.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x - 6) \cdot 3}}{3}$

चरण 3.5.9

गुणनखंडों को $\pm \frac{\sqrt{(x - 6) \cdot 3}}{3}$ में पुन: क्रमित करें.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (x - 6)}}{3}$

चरण 3.6

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$y = \frac{\sqrt{3 (x - 6)}}{3}$

चरण 3.6.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$y = - \frac{\sqrt{3 (x - 6)}}{3}$

चरण 3.6.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$y = \frac{\sqrt{3 (x - 6)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x - 6)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x - 6)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x - 6)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x - 6)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x - 6)}}{3}$

चरण 4

अंतिम उत्तर दिखाने के लिए $y$ को $f^{- 1} (x)$ से बदलें.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x - 6)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x - 6)}}{3}$

चरण 5

सत्यापित करें कि क्या $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x - 6)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x - 6)}}{3}$ , $f (x) = 3 x^{2} + 6$ का व्युत्क्रम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्युत्क्रम का डोमेन मूल फंक्शन का परास और इसके विपरीत है. $f (x) = 3 x^{2} + 6$ और $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x - 6)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x - 6)}}{3}$ का डोमेन और परास ज्ञात करें और उनकी तुलना करें.

चरण 5.2

$f (x) = 3 x^{2} + 6$ की सीमा ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

श्रेणी सभी मान्य $y$ मानों का सेट है. परिसर पता करने के लिए ग्राफ का प्रयोग करें.

मध्यवर्ती संकेतन:

$[6, \infty)$

चरण 5.3

$\frac{\sqrt{3 (x - 6)}}{3}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

रेडिकैंड को $\sqrt{3 (x - 6)}$ में $0$ से बड़ा या उसके बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां परिभाषित किया गया है.

$3 (x - 6) \geq 0$

चरण 5.3.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$3 (x - 6) \geq 0$ के प्रत्येक पद को $3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.1

$3 (x - 6) \geq 0$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 (x - 6)}{3} \geq \frac{0}{3}$

चरण 5.3.2.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 (x - 6)}{3} \geq \frac{0}{3}$

चरण 5.3.2.1.2.1.2

$x - 6$ को $1$ से विभाजित करें.

$x - 6 \geq \frac{0}{3}$

चरण 5.3.2.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.3.1

$0$ को $3$ से विभाजित करें.

$x - 6 \geq 0$

चरण 5.3.2.2

असमानता के दोनों पक्षों में $6$ जोड़ें.

$x \geq 6$

चरण 5.3.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

$[6, \infty)$

चरण 5.4

$f (x) = 3 x^{2} + 6$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

$(- \infty, \infty)$

चरण 5.5

चूँकि $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x - 6)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x - 6)}}{3}$ का डोमेन $f (x) = 3 x^{2} + 6$ का परास है और $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x - 6)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x - 6)}}{3}$ का डोमेन $f (x) = 3 x^{2} + 6$ का डोमेन है, तो $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x - 6)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x - 6)}}{3}$ , $f (x) = 3 x^{2} + 6$ का व्युत्क्रम है.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x - 6)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x - 6)}}{3}$

चरण 6