प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$

चरण 1

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ को एक समीकरण के रूप में लिखें.

$y = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$

चरण 2

चर को एकदूसरे के साथ बदलें.

$x = \frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण को $y^{2} + y - 2$ से गुणा करें.

$(y^{2} + y - 2) (x) = (\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$

चरण 3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y^{2} x + y x - 2 x = (\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$

चरण 3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$(\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{y^{2} + 2 y + 1^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

चरण 3.3.1.1.2

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$2 y = 2 \cdot y \cdot 1$

चरण 3.3.1.1.3

बहुपद को फिर से लिखें.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{y^{2} + 2 \cdot y \cdot 1 + 1^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

चरण 3.3.1.1.4

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = y$ और $b = 1$ है.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

चरण 3.3.1.2

AC विधि का उपयोग करके $y^{2} + y - 2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.2.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 2$ है और जिसका योग $1$ है.

$- 1, 2$

चरण 3.3.1.2.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2}}{(y - 1) (y + 2)} (y^{2} + y - 2)$

चरण 3.3.1.3

$\frac{{(y + 1)}^{2}}{(y - 1) (y + 2)}$ को $y^{2} + y - 2$ से गुणा करें.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y^{2} + y - 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

चरण 3.3.1.4

AC विधि का उपयोग करके $y^{2} + y - 2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.4.1

$- 1, 2$

चरण 3.3.1.4.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} ((y - 1) (y + 2))}{(y - 1) (y + 2)}$

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y - 1) (y + 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

चरण 3.3.1.5

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.5.1

$y - 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.5.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y - 1) (y + 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

चरण 3.3.1.5.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y + 2)}{y + 2}$

चरण 3.3.1.5.2

$y + 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y + 2)}{y + 2}$

चरण 3.3.1.5.2.2

${(y + 1)}^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y^{2} x + y x - 2 x = {(y + 1)}^{2}$

चरण 3.3.1.5.3

${(y + 1)}^{2}$ को $(y + 1) (y + 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y^{2} x + y x - 2 x = (y + 1) (y + 1)$

चरण 3.3.1.6

FOIL विधि का उपयोग करके $(y + 1) (y + 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y^{2} x + y x - 2 x = y (y + 1) + 1 (y + 1)$

चरण 3.3.1.6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y^{2} x + y x - 2 x = y \cdot y + y \cdot 1 + 1 (y + 1)$

चरण 3.3.1.6.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y^{2} x + y x - 2 x = y \cdot y + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1$

चरण 3.3.1.7

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.7.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.7.1.1

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1$

चरण 3.3.1.7.1.2

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + 1 y + 1 \cdot 1$

चरण 3.3.1.7.1.3

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + y + 1 \cdot 1$

चरण 3.3.1.7.1.4

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + y + 1$

चरण 3.3.1.7.2

$y$ और $y$ जोड़ें.

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + 2 y + 1$

चरण 3.4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y^{2}$ घटाएं.

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} = 2 y + 1$

चरण 3.4.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 y$ घटाएं.

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} - 2 y = 1$

चरण 3.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} - 2 y - 1 = 0$

चरण 3.4.3

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 3.4.4

द्विघात सूत्र में $a = x - 1$ , $b = x - 2$ और $c = - 2 x - 1$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $y$ के लिए हल करें.

$\frac{- (x - 2) \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot ((x - 1) \cdot (- 2 x - 1))}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.5.2

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.5.3

${(x - 2)}^{2}$ को $(x - 2) (x - 2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{(x - 2) (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.5.4

FOIL विधि का उपयोग करके $(x - 2) (x - 2)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (x - 2) - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.5.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.5.4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.5.5

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.5.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.5.5.1.2

$- 2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.5.5.1.3

$- 2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.5.5.2

$- 2 x$ में से $2 x$ घटाएं.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.5.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x - 4 \cdot - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.5.7

$- 4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x + 4) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.5.8

FOIL विधि का उपयोग करके $(- 4 x + 4) (- 2 x - 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.8.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x - 1) + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.5.8.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.5.8.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.5.9

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.9.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.9.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.5.9.1.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.9.1.2.1

$x$ ले जाएं.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.5.9.1.2.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x^{2}) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.5.9.1.3

$- 4$ को $- 2$ से गुणा करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.5.9.1.4

$- 1$ को $- 4$ से गुणा करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.5.9.1.5

$- 2$ को $4$ से गुणा करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.5.9.1.6

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x - 4}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.5.9.2

$4 x$ में से $8 x$ घटाएं.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.5.10

$x^{2}$ और $8 x^{2}$ जोड़ें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.5.11

$- 4 x$ में से $4 x$ घटाएं.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 4 - 4}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.5.12

$4$ में से $4$ घटाएं.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 0}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.5.13

$9 x^{2} - 8 x$ और $0$ जोड़ें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.5.14

$9 x^{2} - 8 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.14.1

$9 x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) - 8 x}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.5.14.2

$- 8 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) + x \cdot - 8}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.5.14.3

$x (9 x) + x \cdot - 8$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.6

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.6.1

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$y = \frac{- x + 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.6.2

$- x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- (x) + 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.6.3

$2$ को $- 1 (- 2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{- (x) - 1 \cdot - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.6.4

$- (x) - 1 (- 2)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- (x - 2) + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.6.5

$\sqrt{x (9 x - 8)}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- (x - 2) - 1 (- \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.6.6

$- (x - 2) - 1 (- \sqrt{x (9 x - 8)})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.6.7

$- (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})$ को $- 1 (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{- 1 (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.6.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.7.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.7.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.1.2

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.1.3

${(x - 2)}^{2}$ को $(x - 2) (x - 2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{(x - 2) (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.1.4

FOIL विधि का उपयोग करके $(x - 2) (x - 2)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.7.1.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (x - 2) - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.1.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.1.4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.1.5

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.7.1.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.7.1.5.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.1.5.1.2

$- 2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.1.5.1.3

$- 2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.1.5.2

$- 2 x$ में से $2 x$ घटाएं.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.1.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x - 4 \cdot - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.1.7

$- 4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x + 4) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.1.8

FOIL विधि का उपयोग करके $(- 4 x + 4) (- 2 x - 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.7.1.8.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x - 1) + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.1.8.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.1.8.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.1.9

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.7.1.9.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.7.1.9.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.1.9.1.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.7.1.9.1.2.1

$x$ ले जाएं.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.1.9.1.2.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x^{2}) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.1.9.1.3

$- 4$ को $- 2$ से गुणा करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.1.9.1.4

$- 1$ को $- 4$ से गुणा करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.1.9.1.5

$- 2$ को $4$ से गुणा करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.1.9.1.6

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x - 4}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.1.9.2

$4 x$ में से $8 x$ घटाएं.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.1.10

$x^{2}$ और $8 x^{2}$ जोड़ें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.1.11

$- 4 x$ में से $4 x$ घटाएं.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 4 - 4}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.1.12

$4$ में से $4$ घटाएं.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 0}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.1.13

$9 x^{2} - 8 x$ और $0$ जोड़ें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.1.14

$9 x^{2} - 8 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.7.1.14.1

$9 x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) - 8 x}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.1.14.2

$- 8 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) + x \cdot - 8}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.1.14.3

$x (9 x) + x \cdot - 8$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.2

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$y = \frac{- x + 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.3

$- x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- (x) + 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.4

$2$ को $- 1 (- 2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{- (x) - 1 \cdot - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.5

$- (x) - 1 (- 2)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- (x - 2) - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.6

$- \sqrt{x (9 x - 8)}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- (x - 2) - (\sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.7

$- (x - 2) - (\sqrt{x (9 x - 8)})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{- (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.8

$- (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})$ को $- 1 (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{- 1 (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.7.9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

चरण 3.4.8

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

चरण 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

चरण 5

सत्यापित करें कि क्या $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ , $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ का व्युत्क्रम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्युत्क्रम का डोमेन मूल फंक्शन का परास और इसके विपरीत है. $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ और $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ का डोमेन और परास ज्ञात करें और उनकी तुलना करें.

चरण 5.2

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ की सीमा ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

श्रेणी सभी मान्य $y$ मानों का सेट है. परिसर पता करने के लिए ग्राफ का प्रयोग करें.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, 0] \cup [\frac{8}{9}, \infty)$

चरण 5.3

$- \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

रेडिकैंड को $\sqrt{x (9 x - 8)}$ में $0$ से बड़ा या उसके बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां परिभाषित किया गया है.

$x (9 x - 8) \geq 0$

चरण 5.3.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x = 0$

$9 x - 8 = 0$

चरण 5.3.2.2

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 5.3.2.3

$9 x - 8$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.3.1

$9 x - 8$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$9 x - 8 = 0$

चरण 5.3.2.3.2

$x$ के लिए $9 x - 8 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $8$ जोड़ें.

$9 x = 8$

चरण 5.3.2.3.2.2

$9 x = 8$ के प्रत्येक पद को $9$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.3.2.2.1

$9 x = 8$ के प्रत्येक पद को $9$ से विभाजित करें.

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

चरण 5.3.2.3.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.3.2.2.2.1

$9$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.3.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

चरण 5.3.2.3.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{8}{9}$

चरण 5.3.2.4

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $x (9 x - 8) \geq 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, \frac{8}{9}$

चरण 5.3.2.5

परीक्षण अंतराल बनाने के लिए प्रत्येक मूल का प्रयोग करें.

$x < 0$

$0 < x < \frac{8}{9}$

$x > \frac{8}{9}$

चरण 5.3.2.6

प्रत्येक अंतराल से एक परीक्षण मान चुनें और यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से अंतराल असमानता को संतुष्ट करते हैं, इस मान को मूल असमानता में प्लग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.6.1

अंतराल $x < 0$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.6.1.1

अंतराल $x < 0$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 2$

चरण 5.3.2.6.1.2

मूल असमानता में $x$ को $- 2$ से बदलें.

$(- 2) (9 (- 2) - 8) \geq 0$

चरण 5.3.2.6.1.3

बाईं ओर $52$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

True

चरण 5.3.2.6.2

अंतराल $0 < x < \frac{8}{9}$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.6.2.1

अंतराल $0 < x < \frac{8}{9}$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 0.44$

चरण 5.3.2.6.2.2

मूल असमानता में $x$ को $0.44$ से बदलें.

$(0.44) (9 (0.44) - 8) \geq 0$

चरण 5.3.2.6.2.3

बाईं ओर $- 1.7776$ दाईं ओर $0$ से छोटा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

False

चरण 5.3.2.6.3

अंतराल $x > \frac{8}{9}$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.6.3.1

अंतराल $x > \frac{8}{9}$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 3$

चरण 5.3.2.6.3.2

मूल असमानता में $x$ को $3$ से बदलें.

$(3) (9 (3) - 8) \geq 0$

चरण 5.3.2.6.3.3

बाईं ओर $57$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

True

चरण 5.3.2.6.4

यह निर्धारित करने के लिए अंतराल की तुलना करें कि कौन से तत्व मूल असमानता को संतुष्ट करते हैं.

$x < 0$ सही

$0 < x < \frac{8}{9}$ गलत

$x > \frac{8}{9}$ सही

$x < 0$ सही

$0 < x < \frac{8}{9}$ गलत

$x > \frac{8}{9}$ सही

चरण 5.3.2.7

हल में सभी सच्चे अंतराल होते हैं.

$x \leq 0$ या $x \geq \frac{8}{9}$

चरण 5.3.3

$\frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$2 (x - 1) = 0$

चरण 5.3.4

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

$2 (x - 1) = 0$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1.1

$2 (x - 1) = 0$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

चरण 5.3.4.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

चरण 5.3.4.1.2.1.2

$x - 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$x - 1 = \frac{0}{2}$

चरण 5.3.4.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1.3.1

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$x - 1 = 0$

चरण 5.3.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = 1$

चरण 5.3.5

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

$(- \infty, 0] \cup [\frac{8}{9}, 1) \cup (1, \infty)$

चरण 5.4

चूँकि $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ का डोमेन $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ की परास के बराबर नहीं है, तो $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ , $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ का व्युत्क्रम नहीं है.

कोई व्युत्क्रम नहीं

चरण 6