प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = e^{3 x - 5} - 2$

चरण 1

$f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ को एक समीकरण के रूप में लिखें.

$y = e^{3 x - 5} - 2$

चरण 2

चर को एकदूसरे के साथ बदलें.

$x = e^{3 y - 5} - 2$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण को $e^{3 y - 5} - 2 = x$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{3 y - 5} - 2 = x$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$e^{3 y - 5} = x + 2$

चरण 3.3

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{3 y - 5}) = \ln (x + 2)$

चरण 3.4

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$3 y - 5$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{3 y - 5})$ का प्रसार करें.

$(3 y - 5) \ln (e) = \ln (x + 2)$

चरण 3.4.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$(3 y - 5) \cdot 1 = \ln (x + 2)$

चरण 3.4.3

$3 y - 5$ को $1$ से गुणा करें.

$3 y - 5 = \ln (x + 2)$

चरण 3.5

समीकरण के दोनों पक्षों में $5$ जोड़ें.

$3 y = \ln (x + 2) + 5$

चरण 3.6

$3 y = \ln (x + 2) + 5$ के प्रत्येक पद को $3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$3 y = \ln (x + 2) + 5$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

चरण 3.6.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

चरण 3.6.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

चरण 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

चरण 5

सत्यापित करें कि क्या $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ , $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ का व्युत्क्रम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्युत्क्रम सत्यापित करने के लिए, जांचें कि क्या $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

चरण 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f^{- 1} (f (x))$

चरण 5.2.2

$f^{- 1}$ में $f$ का मान प्रतिस्थापित करके $f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2)$ का मान ज्ञात करें.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln ((e^{3 x - 5} - 2) + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

चरण 5.2.3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

$\frac{\ln ((e^{3 x - 5} - 2) + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1.1

$- 2$ और $2$ जोड़ें.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5} + 0)}{3} + \frac{5}{3}$

चरण 5.2.3.1.2

$e^{3 x - 5}$ और $0$ जोड़ें.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5})}{3} + \frac{5}{3}$

चरण 5.2.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5}) + 5}{3}$

चरण 5.2.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1

$3 x - 5$ को घातांक से बाहर निकालने के लिए लघुगणक नियमों का प्रयोग करें.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{(3 x - 5) \ln (e) + 5}{3}$

चरण 5.2.4.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{(3 x - 5) \cdot 1 + 5}{3}$

चरण 5.2.4.3

$3 x - 5$ को $1$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x - 5 + 5}{3}$

चरण 5.2.5

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.1

$3 x - 5 + 5$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.1.1

$- 5$ और $5$ जोड़ें.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x + 0}{3}$

चरण 5.2.5.1.2

$3 x$ और $0$ जोड़ें.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x}{3}$

चरण 5.2.5.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x}{3}$

चरण 5.2.5.2.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = x$

चरण 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f (f^{- 1} (x))$

चरण 5.3.2

$f$ में $f^{- 1}$ का मान प्रतिस्थापित करके $f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3})$ का मान ज्ञात करें.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

चरण 5.3.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1.1.1

$\frac{\ln (x + 2)}{3}$ को $\frac{1}{3} \ln (x + 2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{1}{3} \cdot \ln (x + 2) + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

चरण 5.3.3.1.1.2

$\frac{1}{3}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{1}{3} \ln (x + 2)$ को सरल करें.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

चरण 5.3.3.1.2

$\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

चरण 5.3.3.1.3

$\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

चरण 5.3.3.1.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3 + 5}{3}) - 5} - 2$

चरण 5.3.3.1.5

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1.5.1.1

$\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1.5.1.1.1

$\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ और $3$ को पुन: क्रमित करें.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{3 \cdot \ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) + 5}{3}) - 5} - 2$

चरण 5.3.3.1.5.1.1.2

$3$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $3 \cdot \ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ को सरल करें.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

चरण 5.3.3.1.5.1.2

घातांक को ${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1.5.1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

चरण 5.3.3.1.5.1.2.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1.5.1.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

चरण 5.3.3.1.5.1.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{1}) + 5}{3}) - 5} - 2$

चरण 5.3.3.1.5.1.3

सरल करें.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2) + 5}{3}) - 5} - 2$

चरण 5.3.3.1.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2) + 5}{3}) - 5} - 2$

चरण 5.3.3.1.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2) + 5 - 5} - 2$

चरण 5.3.3.2

$\ln (x + 2) + 5 - 5$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.2.1

$5$ में से $5$ घटाएं.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2) + 0} - 2$

चरण 5.3.3.2.2

$\ln (x + 2)$ और $0$ जोड़ें.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2)} - 2$

चरण 5.3.3.3

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x + 2 - 2$

चरण 5.3.4

$x + 2 - 2$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

$2$ में से $2$ घटाएं.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x + 0$

चरण 5.3.4.2

$x$ और $0$ जोड़ें.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x$

चरण 5.4

चूँकि $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ , तो $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ , $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ का व्युत्क्रम है.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$