प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 5 + \ln (x)$

चरण 1

$f (x) = 5 + \ln (x)$ को एक समीकरण के रूप में लिखें.

$y = 5 + \ln (x)$

चरण 2

चर को एकदूसरे के साथ बदलें.

$x = 5 + \ln (y)$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण को $5 + \ln (y) = x$ के रूप में फिर से लिखें.

$5 + \ln (y) = x$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $5$ घटाएं.

$\ln (y) = x - 5$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (y)} = e^{x - 5}$

चरण 3.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (y) = x - 5$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{x - 5} = y$

चरण 3.5

समीकरण को $y = e^{x - 5}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = e^{x - 5}$

चरण 4

अंतिम उत्तर दिखाने के लिए $y$ को $f^{- 1} (x)$ से बदलें.

$f^{- 1} (x) = e^{x - 5}$

चरण 5

सत्यापित करें कि क्या $f^{- 1} (x) = e^{x - 5}$ , $f (x) = 5 + \ln (x)$ का व्युत्क्रम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्युत्क्रम सत्यापित करने के लिए, जांचें कि क्या $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

चरण 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f^{- 1} (f (x))$

चरण 5.2.2

$f^{- 1}$ में $f$ का मान प्रतिस्थापित करके $f^{- 1} (5 + \ln (x))$ का मान ज्ञात करें.

$f^{- 1} (5 + \ln (x)) = e^{(5 + \ln (x)) - 5}$

चरण 5.2.3

$(5 + \ln (x)) - 5$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

$5$ में से $5$ घटाएं.

$f^{- 1} (5 + \ln (x)) = e^{0 + \ln (x)}$

चरण 5.2.3.2

$0$ और $\ln (x)$ जोड़ें.

$f^{- 1} (5 + \ln (x)) = e^{\ln (x)}$

चरण 5.2.4

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$f^{- 1} (5 + \ln (x)) = x$

चरण 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f (f^{- 1} (x))$

चरण 5.3.2

$f$ में $f^{- 1}$ का मान प्रतिस्थापित करके $f (e^{x - 5})$ का मान ज्ञात करें.

$f (e^{x - 5}) = 5 + \ln (e^{x - 5})$

चरण 5.3.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

$x - 5$ को घातांक से बाहर निकालने के लिए लघुगणक नियमों का प्रयोग करें.

$f (e^{x - 5}) = 5 + (x - 5) \ln (e)$

चरण 5.3.3.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$f (e^{x - 5}) = 5 + (x - 5) \cdot 1$

चरण 5.3.3.3

$x - 5$ को $1$ से गुणा करें.

$f (e^{x - 5}) = 5 + x - 5$

चरण 5.3.4

$5 + x - 5$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

$5$ में से $5$ घटाएं.

$f (e^{x - 5}) = x + 0$

चरण 5.3.4.2

$x$ और $0$ जोड़ें.

$f (e^{x - 5}) = x$

चरण 5.4

चूँकि $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ , तो $f^{- 1} (x) = e^{x - 5}$ , $f (x) = 5 + \ln (x)$ का व्युत्क्रम है.

$f^{- 1} (x) = e^{x - 5}$