प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 4 + \sqrt{x + 4}$

चरण 1

$f (x) = 4 + \sqrt{x + 4}$ को एक समीकरण के रूप में लिखें.

$y = 4 + \sqrt{x + 4}$

चरण 2

चर को एकदूसरे के साथ बदलें.

$x = 4 + \sqrt{y + 4}$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण को $4 + \sqrt{y + 4} = x$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 + \sqrt{y + 4} = x$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$\sqrt{y + 4} = x - 4$

चरण 3.3

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें.

${\sqrt{y + 4}}^{2} = {(x - 4)}^{2}$

चरण 3.4

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$\sqrt{y + 4}$ को ${(y + 4)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${({(y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 4)}^{2}$

चरण 3.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

${({(y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1.1

घातांक को ${({(y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 4)}^{2}$

चरण 3.4.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${(y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 4)}^{2}$

चरण 3.4.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

${(y + 4)}^{1} = {(x - 4)}^{2}$

चरण 3.4.2.1.2

सरल करें.

$y + 4 = {(x - 4)}^{2}$

चरण 3.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1

${(x - 4)}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1.1

${(x - 4)}^{2}$ को $(x - 4) (x - 4)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y + 4 = (x - 4) (x - 4)$

चरण 3.4.3.1.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(x - 4) (x - 4)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y + 4 = x (x - 4) - 4 (x - 4)$

चरण 3.4.3.1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y + 4 = x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)$

चरण 3.4.3.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y + 4 = x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4$

चरण 3.4.3.1.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1.3.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$y + 4 = x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4$

चरण 3.4.3.1.3.1.2

$- 4$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y + 4 = x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4$

चरण 3.4.3.1.3.1.3

$- 4$ को $- 4$ से गुणा करें.

$y + 4 = x^{2} - 4 x - 4 x + 16$

चरण 3.4.3.1.3.2

$- 4 x$ में से $4 x$ घटाएं.

$y + 4 = x^{2} - 8 x + 16$

चरण 3.5

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$y = x^{2} - 8 x + 16 - 4$

चरण 3.5.2

$16$ में से $4$ घटाएं.

$y = x^{2} - 8 x + 12$

चरण 4

अंतिम उत्तर दिखाने के लिए $y$ को $f^{- 1} (x)$ से बदलें.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x + 12$

चरण 5

सत्यापित करें कि क्या $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x + 12$ , $f (x) = 4 + \sqrt{x + 4}$ का व्युत्क्रम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्युत्क्रम सत्यापित करने के लिए, जांचें कि क्या $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

चरण 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f^{- 1} (f (x))$

चरण 5.2.2

$f^{- 1}$ में $f$ का मान प्रतिस्थापित करके $f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4})$ का मान ज्ञात करें.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = {(4 + \sqrt{x + 4})}^{2} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

चरण 5.2.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

${(4 + \sqrt{x + 4})}^{2}$ को $(4 + \sqrt{x + 4}) (4 + \sqrt{x + 4})$ के रूप में फिर से लिखें.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = (4 + \sqrt{x + 4}) (4 + \sqrt{x + 4}) - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

चरण 5.2.3.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(4 + \sqrt{x + 4}) (4 + \sqrt{x + 4})$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 4 (4 + \sqrt{x + 4}) + \sqrt{x + 4} (4 + \sqrt{x + 4}) - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

चरण 5.2.3.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 4 \cdot 4 + 4 \sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 4} (4 + \sqrt{x + 4}) - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

चरण 5.2.3.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 4 \cdot 4 + 4 \sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 4} \cdot 4 + \sqrt{x + 4} \sqrt{x + 4} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

चरण 5.2.3.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.3.1.1

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 4} \cdot 4 + \sqrt{x + 4} \sqrt{x + 4} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

चरण 5.2.3.3.1.2

$4$ को $\sqrt{x + 4}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 4} \sqrt{x + 4} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

चरण 5.2.3.3.1.3

$\sqrt{x + 4} \sqrt{x + 4}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.3.1.3.1

$\sqrt{x + 4}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 4} \sqrt{x + 4} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

चरण 5.2.3.3.1.3.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + {\sqrt{x + 4}}^{1 + 1} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

चरण 5.2.3.3.1.3.3

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + {\sqrt{x + 4}}^{2} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

चरण 5.2.3.3.1.4

${\sqrt{x + 4}}^{2}$ को $x + 4$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.3.1.4.1

$\sqrt{x + 4}$ को ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + {({(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

चरण 5.2.3.3.1.4.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + {(x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

चरण 5.2.3.3.1.4.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + {(x + 4)}^{\frac{2}{2}} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

चरण 5.2.3.3.1.4.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.3.1.4.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + {(x + 4)}^{\frac{2}{2}} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

चरण 5.2.3.3.1.4.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + x + 4 - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

चरण 5.2.3.3.1.4.5

सरल करें.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + x + 4 - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

चरण 5.2.3.3.2

$16$ और $4$ जोड़ें.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 20 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + x - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

चरण 5.2.3.3.3

$4 \sqrt{x + 4}$ और $4 \sqrt{x + 4}$ जोड़ें.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 20 + 8 \sqrt{x + 4} + x - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

चरण 5.2.3.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 20 + 8 \sqrt{x + 4} + x - 8 \cdot 4 - 8 \sqrt{x + 4} + 12$

चरण 5.2.3.5

$- 8$ को $4$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 20 + 8 \sqrt{x + 4} + x - 32 - 8 \sqrt{x + 4} + 12$

चरण 5.2.4

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1

$20 + 8 \sqrt{x + 4} + x - 32 - 8 \sqrt{x + 4} + 12$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1.1

$8 \sqrt{x + 4}$ में से $8 \sqrt{x + 4}$ घटाएं.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 20 + x - 32 + 0 + 12$

चरण 5.2.4.1.2

$20 + x - 32$ और $0$ जोड़ें.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 20 + x - 32 + 12$

चरण 5.2.4.2

$20$ में से $32$ घटाएं.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = x - 12 + 12$

चरण 5.2.4.3

$x - 12 + 12$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.3.1

$- 12$ और $12$ जोड़ें.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = x + 0$

चरण 5.2.4.3.2

$x$ और $0$ जोड़ें.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = x$

चरण 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f (f^{- 1} (x))$

चरण 5.3.2

$f$ में $f^{- 1}$ का मान प्रतिस्थापित करके $f (x^{2} - 8 x + 12)$ का मान ज्ञात करें.

$f (x^{2} - 8 x + 12) = 4 + \sqrt{(x^{2} - 8 x + 12) + 4}$

चरण 5.3.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

$12$ और $4$ जोड़ें.

$f (x^{2} - 8 x + 12) = 4 + \sqrt{x^{2} - 8 x + 16}$

चरण 5.3.3.2

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.2.1

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (x^{2} - 8 x + 12) = 4 + \sqrt{x^{2} - 8 x + 4^{2}}$

चरण 5.3.3.2.2

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

चरण 5.3.3.2.3

बहुपद को फिर से लिखें.

$f (x^{2} - 8 x + 12) = 4 + \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}}$

चरण 5.3.3.2.4

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = x$ और $b = 4$ है.

$f (x^{2} - 8 x + 12) = 4 + \sqrt{{(x - 4)}^{2}}$

चरण 5.3.3.3

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$f (x^{2} - 8 x + 12) = 4 + x - 4$

चरण 5.3.4

$4 + x - 4$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

$4$ में से $4$ घटाएं.

$f (x^{2} - 8 x + 12) = x + 0$

चरण 5.3.4.2

$x$ और $0$ जोड़ें.

$f (x^{2} - 8 x + 12) = x$

चरण 5.4

चूँकि $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ , तो $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x + 12$ , $f (x) = 4 + \sqrt{x + 4}$ का व्युत्क्रम है.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x + 12$