ऊपरी और निम्न सीमायें ज्ञात कीजिये p(x)=4x^4+8x^3-7x^2-21x-9

चरण 1

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

चरण 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm \frac{9}{4}$

चरण 2

$\frac{4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9}{x - 3}$ पर $x = 3$ होने पर कृत्रिम विभाजन लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

चरण 2.2

भाज्य $(4)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

	$4$

चरण 2.3

परिणाम $(4)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(3)$ से गुणा करें और $(12)$ के परिणाम को भाज्य $(8)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$12$
	$4$

चरण 2.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$12$
	$4$	$20$

चरण 2.5

परिणाम $(20)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(3)$ से गुणा करें और $(60)$ के परिणाम को भाज्य $(- 7)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$12$	$60$
	$4$	$20$

चरण 2.6

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$12$	$60$
	$4$	$20$	$53$

चरण 2.7

परिणाम $(53)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(3)$ से गुणा करें और $(159)$ के परिणाम को भाज्य $(- 21)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$12$	$60$	$159$
	$4$	$20$	$53$

चरण 2.8

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$12$	$60$	$159$
	$4$	$20$	$53$	$138$

चरण 2.9

परिणाम $(138)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(3)$ से गुणा करें और $(414)$ के परिणाम को भाज्य $(- 9)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$12$	$60$	$159$	$414$
	$4$	$20$	$53$	$138$

चरण 2.10

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$12$	$60$	$159$	$414$
	$4$	$20$	$53$	$138$	$405$

चरण 2.11

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$4 x^{3} + 20 x^{2} + (53) x + 138 + \frac{405}{x - 3}$

चरण 2.12

भागफल बहुपद को सरल करें.

$4 x^{3} + 20 x^{2} + 53 x + 138 + \frac{405}{x - 3}$

चरण 3

चूंकि $3 > 0$ और कृत्रिम विभाजन की निचली पंक्ति में सभी संकेत धनात्मक हैं, $3$ फलन की वास्तविक मूल के लिए उच्च परिबंध है.

उच्च परिबंध: $3$

चरण 4

$\frac{4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9}{x + 3}$ पर $x = - 3$ होने पर कृत्रिम विभाजन लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$- 3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

चरण 4.2

भाज्य $(4)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$- 3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

	$4$

चरण 4.3

परिणाम $(4)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 3)$ से गुणा करें और $(- 12)$ के परिणाम को भाज्य $(8)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 12$
	$4$

चरण 4.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- 3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 12$
	$4$	$- 4$

चरण 4.5

परिणाम $(- 4)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 3)$ से गुणा करें और $(12)$ के परिणाम को भाज्य $(- 7)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 12$	$12$
	$4$	$- 4$

चरण 4.6

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- 3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 12$	$12$
	$4$	$- 4$	$5$

चरण 4.7

परिणाम $(5)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 3)$ से गुणा करें और $(- 15)$ के परिणाम को भाज्य $(- 21)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 12$	$12$	$- 15$
	$4$	$- 4$	$5$

चरण 4.8

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- 3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 12$	$12$	$- 15$
	$4$	$- 4$	$5$	$- 36$

चरण 4.9

परिणाम $(- 36)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 3)$ से गुणा करें और $(108)$ के परिणाम को भाज्य $(- 9)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 12$	$12$	$- 15$	$108$
	$4$	$- 4$	$5$	$- 36$

चरण 4.10

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- 3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 12$	$12$	$- 15$	$108$
	$4$	$- 4$	$5$	$- 36$	$99$

चरण 4.11

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$4 x^{3} + - 4 x^{2} + (5) x - 36 + \frac{99}{x + 3}$

चरण 4.12

भागफल बहुपद को सरल करें.

$4 x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 36 + \frac{99}{x + 3}$

चरण 5

चूंकि $- 3 < 0$ और कृत्रिम विभाजन की निचली पंक्ति में संकेत वैकल्पिक संकेत, $- 3$ फलन की वास्तविक मूल के लिए निम्न परिबंध है.

निम्न परिबंध: $- 3$

चरण 6

$\frac{4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9}{x - 9}$ पर $x = 9$ होने पर कृत्रिम विभाजन लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

चरण 6.2

भाज्य $(4)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

	$4$

चरण 6.3

परिणाम $(4)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(9)$ से गुणा करें और $(36)$ के परिणाम को भाज्य $(8)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$36$
	$4$

चरण 6.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$36$
	$4$	$44$

चरण 6.5

परिणाम $(44)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(9)$ से गुणा करें और $(396)$ के परिणाम को भाज्य $(- 7)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$36$	$396$
	$4$	$44$

चरण 6.6

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$36$	$396$
	$4$	$44$	$389$

चरण 6.7

परिणाम $(389)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(9)$ से गुणा करें और $(3501)$ के परिणाम को भाज्य $(- 21)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$36$	$396$	$3501$
	$4$	$44$	$389$

चरण 6.8

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$36$	$396$	$3501$
	$4$	$44$	$389$	$3480$

चरण 6.9

परिणाम $(3480)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(9)$ से गुणा करें और $(31320)$ के परिणाम को भाज्य $(- 9)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$36$	$396$	$3501$	$31320$
	$4$	$44$	$389$	$3480$

चरण 6.10

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$36$	$396$	$3501$	$31320$
	$4$	$44$	$389$	$3480$	$31311$

चरण 6.11

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$4 x^{3} + 44 x^{2} + (389) x + 3480 + \frac{31311}{x - 9}$

चरण 6.12

भागफल बहुपद को सरल करें.

$4 x^{3} + 44 x^{2} + 389 x + 3480 + \frac{31311}{x - 9}$

चरण 7

चूंकि $9 > 0$ और कृत्रिम विभाजन की निचली पंक्ति में सभी संकेत धनात्मक हैं, $9$ फलन की वास्तविक मूल के लिए उच्च परिबंध है.

उच्च परिबंध: $9$

चरण 8

$\frac{4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9}{x + 9}$ पर $x = - 9$ होने पर कृत्रिम विभाजन लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$- 9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

चरण 8.2

भाज्य $(4)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$- 9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

	$4$

चरण 8.3

परिणाम $(4)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 9)$ से गुणा करें और $(- 36)$ के परिणाम को भाज्य $(8)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 36$
	$4$

चरण 8.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- 9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 36$
	$4$	$- 28$

चरण 8.5

परिणाम $(- 28)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 9)$ से गुणा करें और $(252)$ के परिणाम को भाज्य $(- 7)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 36$	$252$
	$4$	$- 28$

चरण 8.6

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- 9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 36$	$252$
	$4$	$- 28$	$245$

चरण 8.7

परिणाम $(245)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 9)$ से गुणा करें और $(- 2205)$ के परिणाम को भाज्य $(- 21)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 36$	$252$	$- 2205$
	$4$	$- 28$	$245$

चरण 8.8

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- 9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 36$	$252$	$- 2205$
	$4$	$- 28$	$245$	$- 2226$

चरण 8.9

परिणाम $(- 2226)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 9)$ से गुणा करें और $(20034)$ के परिणाम को भाज्य $(- 9)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 36$	$252$	$- 2205$	$20034$
	$4$	$- 28$	$245$	$- 2226$

चरण 8.10

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- 9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 36$	$252$	$- 2205$	$20034$
	$4$	$- 28$	$245$	$- 2226$	$20025$

चरण 8.11

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$4 x^{3} + - 28 x^{2} + (245) x - 2226 + \frac{20025}{x + 9}$

चरण 8.12

भागफल बहुपद को सरल करें.

$4 x^{3} - 28 x^{2} + 245 x - 2226 + \frac{20025}{x + 9}$

चरण 9

चूंकि $- 9 < 0$ और कृत्रिम विभाजन की निचली पंक्ति में संकेत वैकल्पिक संकेत, $- 9$ फलन की वास्तविक मूल के लिए निम्न परिबंध है.

निम्न परिबंध: $- 9$

चरण 10

$\frac{4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9}{x - \frac{9}{2}}$ पर $x = \frac{9}{2}$ होने पर कृत्रिम विभाजन लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$\frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

चरण 10.2

भाज्य $(4)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$\frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

	$4$

चरण 10.3

परिणाम $(4)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(\frac{9}{2})$ से गुणा करें और $(18)$ के परिणाम को भाज्य $(8)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$\frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$18$
	$4$

चरण 10.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$\frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$18$
	$4$	$26$

चरण 10.5

परिणाम $(26)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(\frac{9}{2})$ से गुणा करें और $(117)$ के परिणाम को भाज्य $(- 7)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$\frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$18$	$117$
	$4$	$26$

चरण 10.6

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$\frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$18$	$117$
	$4$	$26$	$110$

चरण 10.7

परिणाम $(110)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(\frac{9}{2})$ से गुणा करें और $(495)$ के परिणाम को भाज्य $(- 21)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$\frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$18$	$117$	$495$
	$4$	$26$	$110$

चरण 10.8

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$\frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$18$	$117$	$495$
	$4$	$26$	$110$	$474$

चरण 10.9

परिणाम $(474)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(\frac{9}{2})$ से गुणा करें और $(2133)$ के परिणाम को भाज्य $(- 9)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$\frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$18$	$117$	$495$	$2133$
	$4$	$26$	$110$	$474$

चरण 10.10

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$\frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$18$	$117$	$495$	$2133$
	$4$	$26$	$110$	$474$	$2124$

चरण 10.11

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$4 x^{3} + 26 x^{2} + (110) x + 474 + \frac{2124}{x - \frac{9}{2}}$

चरण 10.12

भागफल बहुपद को सरल करें.

$4 x^{3} + 26 x^{2} + 110 x + 474 + \frac{4248}{2 x - 9}$

चरण 11

चूंकि $\frac{9}{2} > 0$ और कृत्रिम विभाजन की निचली पंक्ति में सभी संकेत धनात्मक हैं, $\frac{9}{2}$ फलन की वास्तविक मूल के लिए उच्च परिबंध है.

उच्च परिबंध: $\frac{9}{2}$

चरण 12

$\frac{4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9}{x + \frac{9}{2}}$ पर $x = - \frac{9}{2}$ होने पर कृत्रिम विभाजन लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$- \frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

चरण 12.2

भाज्य $(4)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$- \frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

	$4$

चरण 12.3

परिणाम $(4)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- \frac{9}{2})$ से गुणा करें और $(- 18)$ के परिणाम को भाज्य $(8)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- \frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 18$
	$4$

चरण 12.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- \frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 18$
	$4$	$- 10$

चरण 12.5

परिणाम $(- 10)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- \frac{9}{2})$ से गुणा करें और $(45)$ के परिणाम को भाज्य $(- 7)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- \frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 18$	$45$
	$4$	$- 10$

चरण 12.6

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- \frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 18$	$45$
	$4$	$- 10$	$38$

चरण 12.7

परिणाम $(38)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- \frac{9}{2})$ से गुणा करें और $(- 171)$ के परिणाम को भाज्य $(- 21)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- \frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 18$	$45$	$- 171$
	$4$	$- 10$	$38$

चरण 12.8

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- \frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 18$	$45$	$- 171$
	$4$	$- 10$	$38$	$- 192$

चरण 12.9

परिणाम $(- 192)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- \frac{9}{2})$ से गुणा करें और $(864)$ के परिणाम को भाज्य $(- 9)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- \frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 18$	$45$	$- 171$	$864$
	$4$	$- 10$	$38$	$- 192$

चरण 12.10

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- \frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 18$	$45$	$- 171$	$864$
	$4$	$- 10$	$38$	$- 192$	$855$

चरण 12.11

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$4 x^{3} + - 10 x^{2} + (38) x - 192 + \frac{855}{x + \frac{9}{2}}$

चरण 12.12

भागफल बहुपद को सरल करें.

$4 x^{3} - 10 x^{2} + 38 x - 192 + \frac{1710}{2 x + 9}$

चरण 13

चूंकि $- \frac{9}{2} < 0$ और कृत्रिम विभाजन की निचली पंक्ति में संकेत वैकल्पिक संकेत, $- \frac{9}{2}$ फलन की वास्तविक मूल के लिए निम्न परिबंध है.

निम्न परिबंध: $- \frac{9}{2}$

चरण 14

$\frac{4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9}{x - \frac{9}{4}}$ पर $x = \frac{9}{4}$ होने पर कृत्रिम विभाजन लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$\frac{9}{4}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

चरण 14.2

भाज्य $(4)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$\frac{9}{4}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

	$4$

चरण 14.3

परिणाम $(4)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(\frac{9}{4})$ से गुणा करें और $(9)$ के परिणाम को भाज्य $(8)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$\frac{9}{4}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$9$
	$4$

चरण 14.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$\frac{9}{4}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$9$
	$4$	$17$

चरण 14.5

परिणाम $(17)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(\frac{9}{4})$ से गुणा करें और $(\frac{153}{4})$ के परिणाम को भाज्य $(- 7)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$\frac{9}{4}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$9$	$\frac{153}{4}$
	$4$	$17$

चरण 14.6

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$\frac{9}{4}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$9$	$\frac{153}{4}$
	$4$	$17$	$\frac{125}{4}$

चरण 14.7

परिणाम $(\frac{125}{4})$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(\frac{9}{4})$ से गुणा करें और $(\frac{1125}{16})$ के परिणाम को भाज्य $(- 21)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$\frac{9}{4}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$9$	$\frac{153}{4}$	$\frac{1125}{16}$
	$4$	$17$	$\frac{125}{4}$

चरण 14.8

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$\frac{9}{4}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$9$	$\frac{153}{4}$	$\frac{1125}{16}$
	$4$	$17$	$\frac{125}{4}$	$\frac{789}{16}$

चरण 14.9

परिणाम $(\frac{789}{16})$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(\frac{9}{4})$ से गुणा करें और $(\frac{7101}{64})$ के परिणाम को भाज्य $(- 9)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$\frac{9}{4}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$9$	$\frac{153}{4}$	$\frac{1125}{16}$	$\frac{7101}{64}$
	$4$	$17$	$\frac{125}{4}$	$\frac{789}{16}$

चरण 14.10

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$\frac{9}{4}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$9$	$\frac{153}{4}$	$\frac{1125}{16}$	$\frac{7101}{64}$
	$4$	$17$	$\frac{125}{4}$	$\frac{789}{16}$	$\frac{6525}{64}$

चरण 14.11

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$4 x^{3} + 17 x^{2} + (\frac{125}{4}) x + \frac{789}{16} + \frac{\frac{6525}{64}}{x - \frac{9}{4}}$

चरण 14.12

भागफल बहुपद को सरल करें.

$4 x^{3} + 17 x^{2} + \frac{125 x}{4} + \frac{789}{16} + \frac{6525}{16 (4 x - 9)}$

चरण 15

चूंकि $\frac{9}{4} > 0$ और कृत्रिम विभाजन की निचली पंक्ति में सभी संकेत धनात्मक हैं, $\frac{9}{4}$ फलन की वास्तविक मूल के लिए उच्च परिबंध है.

उच्च परिबंध: $\frac{9}{4}$

चरण 16

ऊपरी और निचली सीमाएँ निर्धारित करें.

उच्च परिबंध: $3, 9, \frac{9}{2}, \frac{9}{4}$

निम्न परिबंध: $- 3, - 9, - \frac{9}{2}$

चरण 17

प्री-कैलकुलस उदाहरण