प्री-कैलकुलस उदाहरण

$\frac{y^{2}}{16} - x^{2} = 1$

चरण 1

दाईं ओर $1$ के बराबर सेट करने के लिए समीकरण में प्रत्येक पद को सरल करें. दीर्घवृत्त या अतिपरवलय के मानक रूप के लिए समीकरण के दाएं पक्ष की ओर $1$ होना आवश्यक है.

$\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{1} = 1$

चरण 2

यह अतिपरवलय का रूप है. अतिपरवलय के शीर्ष और स्पर्शोन्मुख को खोजने के लिए उपयोग किए गए मानों को निर्धारित करने के लिए इस रूप का उपयोग करें.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

चरण 3

इस अतिपरवलय के मान को मानक रूप के मान से सुमेलित कीजिए. चर $h$ मूल से x- ऑफ़सेट का प्रतिनिधित्व करता है, $k$ मूल से y- ऑफ़सेट का प्रतिनिधित्व करता है, $a$ .

$a = 4$

$b = 1$

$k = 0$

$h = 0$

चरण 4

अतिपरवलय का केंद्र $(h, k)$ के रूप का अनुसरण करता है. $h$ और $k$ के मानों को प्रतिस्थापित करें.

$(0, 0)$

चरण 5

$c$ , केंद्र से नाभि तक दूरी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

निम्न सूत्र का उपयोग करके अतिपरवलय के केंद्र से नाभि तक की दूरी पता करें.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

चरण 5.2

सूत्र में $a$ और $b$ के मान प्रतिस्थापित करें.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(1)}^{2}}$

चरण 5.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{16 + {(1)}^{2}}$

चरण 5.3.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\sqrt{16 + 1}$

चरण 5.3.3

$16$ और $1$ जोड़ें.

$\sqrt{17}$

चरण 6

शीर्ष बिंदु को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

अतिपरवलय का पहला शीर्ष $a$ को $k$ में जोड़कर पता किया जा सकता है.

$(h, k + a)$

चरण 6.2

$h$ , $a$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(0, 4)$

चरण 6.3

अतिपरवलय का दूसरा शीर्ष $a$ को $k$ से घटाकर पता किया जा सकता है.

$(h, k - a)$

चरण 6.4

$h$ , $a$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(0, - 4)$

चरण 6.5

अतिपरवलय के शीर्ष $(h, k \pm a)$ के रूप का अनुसरण करते हैं. अतिपरवलय के दो शीर्ष होते हैं.

$(0, 4), (0, - 4)$

चरण 7

नाभियाँ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

अतिपरवलय का पहला फोकस $c$ को $k$ में जोड़कर पता किया जा सकता है.

$(h, k + c)$

चरण 7.2

$h$ , $c$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(0, \sqrt{17})$

चरण 7.3

अतिपरवलय का दूसरा फोकस $c$ को $k$ से घटाकर पता किया जा सकता है.

$(h, k - c)$

चरण 7.4

$h$ , $c$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(0, - \sqrt{17})$

चरण 7.5

अतिपरवलय का फोकस $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ के रूप का अनुसरण करता है. अतिपरवलयों के दो फोकस होते हैं.

$(0, \sqrt{17}), (0, - \sqrt{17})$

चरण 8

उत्केंद्रता पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके उत्केंद्रता ज्ञात करें.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

चरण 8.2

सूत्र में $a$ और $b$ के मानों को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(1)}^{2}}}{4}$

चरण 8.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\sqrt{16 + 1^{2}}}{4}$

चरण 8.3.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{\sqrt{16 + 1}}{4}$

चरण 8.3.3

$16$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\sqrt{17}}{4}$

चरण 9

नाभीय मानदंड पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

निम्न सूत्र का उपयोग करके अतिपरवलय के फोकल पैरामीटर का मान पता करें.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

चरण 9.2

सूत्र में $b$ और $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ के मान प्रतिस्थापित करें.

$\frac{1^{2}}{\sqrt{17}}$

चरण 9.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{\sqrt{17}}$

चरण 9.3.2

$\frac{1}{\sqrt{17}}$ को $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$

चरण 9.3.3

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.3.1

$\frac{1}{\sqrt{17}}$ को $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ से गुणा करें.

$\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17} \sqrt{17}}$

चरण 9.3.3.2

$\sqrt{17}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} \sqrt{17}}$

चरण 9.3.3.3

$\sqrt{17}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} {\sqrt{17}}^{1}}$

चरण 9.3.3.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1 + 1}}$

चरण 9.3.3.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{2}}$

चरण 9.3.3.6

${\sqrt{17}}^{2}$ को $17$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.3.6.1

$\sqrt{17}$ को $17^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{\sqrt{17}}{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 9.3.3.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{17}}{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 9.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{\sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}}$

चरण 9.3.3.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.3.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}}$

चरण 9.3.3.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\sqrt{17}}{17^{1}}$

चरण 9.3.3.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\frac{\sqrt{17}}{17}$

चरण 10

स्पर्शोन्मुख रूप $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ का अनुसरण करते हैं क्योंकि यह अतिपरवलय ऊपर और नीचे खुलता है.

$y = \pm 4 \cdot x + 0$

चरण 11

$4 \cdot x$ और $0$ जोड़ें.

$y = 4 x$

चरण 12

$- 4 \cdot x$ और $0$ जोड़ें.

$y = - 4 x$

चरण 13

इस अतिपरवलय में दो स्पर्शोन्मुख होते हैं.

$y = 4 x, y = - 4 x$

चरण 14

ये मान अतिपरवलय के ग्राफ और विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं.

केंद्र: $(0, 0)$

शीर्ष: $(0, 4), (0, - 4)$

फ़ॉसी: $(0, \sqrt{17}), (0, - \sqrt{17})$

उत्क्रेंद्रता: $\frac{\sqrt{17}}{4}$

फोकल पैरामीटर: $\frac{\sqrt{17}}{17}$

अनंतस्पर्शी: $y = 4 x$ , $y = - 4 x$

चरण 15