प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 6 x^{4} - 7 x^{3} - 36 x^{2} + 7 x + 6$

चरण 1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $6 x^{4} - 7 x^{3} - 36 x^{2} + 7 x + 6$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

चरण 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{3}, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 1.5$

चरण 1.3

$- 0.\overline{3}$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $- 0.\overline{3}$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$- 0.\overline{3}$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$6 {(- 0.\overline{3})}^{4} - 7 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 36 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 7 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

चरण 1.3.2

$- 0.\overline{3}$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$6 \cdot 0.01234567 - 7 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 36 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 7 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

चरण 1.3.3

$6$ को $0.01234567$ से गुणा करें.

$0.\overline{074} - 7 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 36 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 7 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

चरण 1.3.4

$- 0.\overline{3}$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$0.\overline{074} - 7 \cdot - 0.\overline{037} - 36 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 7 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

चरण 1.3.5

$- 7$ को $- 0.\overline{037}$ से गुणा करें.

$0.\overline{074} + 0.\overline{259} - 36 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 7 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

चरण 1.3.6

$0.\overline{074}$ और $0.\overline{259}$ जोड़ें.

$0.\overline{3} - 36 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 7 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

चरण 1.3.7

$- 0.\overline{3}$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$0.\overline{3} - 36 \cdot 0.\overline{1} + 7 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

चरण 1.3.8

$- 36$ को $0.\overline{1}$ से गुणा करें.

$0.\overline{3} - 4 + 7 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

चरण 1.3.9

$0.\overline{3}$ में से $4$ घटाएं.

$- 3.66666666 + 7 \cdot - 0.\overline{3} + 6$

चरण 1.3.10

$7$ को $- 0.\overline{3}$ से गुणा करें.

$- 3.66666666 - 2.\overline{3} + 6$

चरण 1.3.11

$- 3.66666666$ में से $2.\overline{3}$ घटाएं.

$- 6 + 6$

चरण 1.3.12

$- 6$ और $6$ जोड़ें.

$0$

चरण 1.4

चूँकि $- 0.\overline{3}$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $3 x + 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{6 x^{4} - 7 x^{3} - 36 x^{2} + 7 x + 6}{3 x + 1}$

चरण 1.5

$6 x^{4} - 7 x^{3} - 36 x^{2} + 7 x + 6$ को $3 x + 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

चरण 1.5.2

भाज्य $6 x^{4}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $3 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$2 x^{3}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

चरण 1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$2 x^{3}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

चरण 1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $6 x^{4} + 2 x^{3}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$2 x^{3}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

चरण 1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

$2 x^{3}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

चरण 1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$2 x^{3}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

चरण 1.5.7

भाज्य $- 9 x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $3 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

चरण 1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$6 x^{4}$	-	$7 x^{3}$	-	$36 x^{2}$	+	$7 x$	+	$6$
			-	$6 x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$9 x^{3}$	-	$36 x^{2}$
					-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

चरण 1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 9 x^{3} - 3 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

चरण 1.5.10

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x^{2}$

चरण 1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x^{2}$

$7 x$

चरण 1.5.12

भाज्य $- 33 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $3 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$11 x$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x^{2}$

$7 x$

चरण 1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$11 x$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x^{2}$

$7 x$

$33 x^{2}$

$11 x$

चरण 1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 33 x^{2} - 11 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$11 x$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x^{2}$

$7 x$

$33 x^{2}$

$11 x$

चरण 1.5.15

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$11 x$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x^{2}$

$7 x$

$33 x^{2}$

$11 x$

$18 x$

चरण 1.5.16

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$11 x$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x^{2}$

$7 x$

$33 x^{2}$

$11 x$

$18 x$

$6$

चरण 1.5.17

भाज्य $18 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $3 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$11 x$

$6$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x^{2}$

$7 x$

$33 x^{2}$

$11 x$

$18 x$

$6$

चरण 1.5.18

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$11 x$

$6$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x^{2}$

$7 x$

$33 x^{2}$

$11 x$

$18 x$

$6$

$18 x$

$6$

चरण 1.5.19

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $18 x + 6$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$11 x$

$6$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x^{2}$

$7 x$

$33 x^{2}$

$11 x$

$18 x$

$6$

$18 x$

$6$

चरण 1.5.20

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$11 x$

$6$

$3 x$

$1$

$6 x^{4}$

$7 x^{3}$

$36 x^{2}$

$7 x$

$6$

$6 x^{4}$

$2 x^{3}$

$9 x^{3}$

$36 x^{2}$

$9 x^{3}$

$3 x^{2}$

$33 x^{2}$

$7 x$

$33 x^{2}$

$11 x$

$18 x$

$6$

$18 x$

$6$

$0$

चरण 1.5.21

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x + 6$

चरण 1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $6 x^{4} - 7 x^{3} - 36 x^{2} + 7 x + 6$ लिखें.

$f (x) = (3 x + 1) (2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x + 6)$

चरण 2

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x + 6$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

चरण 2.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

चरण 2.3

$0.5$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $0.5$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$0.5$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$2 \cdot {0.5}^{3} - 3 \cdot {0.5}^{2} - 11 \cdot 0.5 + 6$

चरण 2.3.2

$0.5$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 \cdot 0.125 - 3 \cdot {0.5}^{2} - 11 \cdot 0.5 + 6$

चरण 2.3.3

$2$ को $0.125$ से गुणा करें.

$0.25 - 3 \cdot {0.5}^{2} - 11 \cdot 0.5 + 6$

चरण 2.3.4

$0.5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$0.25 - 3 \cdot 0.25 - 11 \cdot 0.5 + 6$

चरण 2.3.5

$- 3$ को $0.25$ से गुणा करें.

$0.25 - 0.75 - 11 \cdot 0.5 + 6$

चरण 2.3.6

$0.25$ में से $0.75$ घटाएं.

$- 0.5 - 11 \cdot 0.5 + 6$

चरण 2.3.7

$- 11$ को $0.5$ से गुणा करें.

$- 0.5 - 5.5 + 6$

चरण 2.3.8

$- 0.5$ में से $5.5$ घटाएं.

$- 6 + 6$

चरण 2.3.9

$- 6$ और $6$ जोड़ें.

$0$

चरण 2.4

चूँकि $0.5$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $2 x - 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x + 6}{2 x - 1}$

चरण 2.5

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x + 6$ को $2 x - 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$11 x$

$6$

चरण 2.5.2

भाज्य $2 x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $2 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$

चरण 2.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

चरण 2.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $2 x^{3} - x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

चरण 2.5.5

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

चरण 2.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$

चरण 2.5.7

भाज्य $- 2 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $2 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$

चरण 2.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

चरण 2.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 2 x^{2} + x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$

चरण 2.5.10

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$12 x$

चरण 2.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$12 x$	+	$6$

चरण 2.5.12

भाज्य $- 12 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $2 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$12 x$	+	$6$

चरण 2.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$12 x$	+	$6$
							-	$12 x$	+	$6$

चरण 2.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 12 x + 6$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$12 x$	+	$6$
							+	$12 x$	-	$6$

चरण 2.5.15

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$11 x$	+	$6$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
							-	$12 x$	+	$6$
							+	$12 x$	-	$6$
										$0$

चरण 2.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} - x - 6$

चरण 2.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x + 6$ लिखें.

$f (x) = (3 x + 1) ((2 x - 1) (x^{2} - x - 6))$

चरण 3

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - x - 6$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - x - 6$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - x - 6$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 6$ है और जिसका योग $- 1$ है.

$- 3, 2$

चरण 3.1.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$f (x) = (3 x + 1) ((2 x - 1) ((x - 3) (x + 2)))$

चरण 3.1.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$f (x) = (3 x + 1) ((2 x - 1) (x - 3) (x + 2))$

चरण 3.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$f (x) = (3 x + 1) (2 x - 1) (x - 3) (x + 2)$