ऊपरी और निम्न सीमायें ज्ञात कीजिये f(x)=2x-3

चरण 1

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

चरण 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}$

चरण 2

$\frac{2 x - 3}{x + 1}$ पर $x = - 1$ होने पर कृत्रिम विभाजन लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$- 1$	$2$	$- 3$

चरण 2.2

भाज्य $(2)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$- 1$	$2$	$- 3$

	$2$

चरण 2.3

परिणाम $(2)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 1)$ से गुणा करें और $(- 2)$ के परिणाम को भाज्य $(- 3)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 1$	$2$	$- 3$
		$- 2$
	$2$

चरण 2.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- 1$	$2$	$- 3$
		$- 2$
	$2$	$- 5$

चरण 2.5

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$2 + \frac{- 5}{x + 1}$

चरण 2.6

भागफल बहुपद को सरल करें.

$2 - \frac{5}{x + 1}$

चरण 3

चूंकि $- 1 < 0$ और कृत्रिम विभाजन की निचली पंक्ति में संकेत वैकल्पिक संकेत, $- 1$ फलन की वास्तविक मूल के लिए निम्न परिबंध है.

निम्न परिबंध: $- 1$

चरण 4

$\frac{2 x - 3}{x + \frac{1}{2}}$ पर $x = - \frac{1}{2}$ होने पर कृत्रिम विभाजन लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 3$

चरण 4.2

भाज्य $(2)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 3$

	$2$

चरण 4.3

परिणाम $(2)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- \frac{1}{2})$ से गुणा करें और $(- 1)$ के परिणाम को भाज्य $(- 3)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 3$
		$- 1$
	$2$

चरण 4.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 3$
		$- 1$
	$2$	$- 4$

चरण 4.5

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$2 + \frac{- 4}{x + \frac{1}{2}}$

चरण 4.6

भागफल बहुपद को सरल करें.

$2 - \frac{8}{2 x + 1}$

चरण 5

चूंकि $- \frac{1}{2} < 0$ और कृत्रिम विभाजन की निचली पंक्ति में संकेत वैकल्पिक संकेत, $- \frac{1}{2}$ फलन की वास्तविक मूल के लिए निम्न परिबंध है.

निम्न परिबंध: $- \frac{1}{2}$

चरण 6

$\frac{2 x - 3}{x - 3}$ पर $x = 3$ होने पर कृत्रिम विभाजन लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$3$	$2$	$- 3$

चरण 6.2

भाज्य $(2)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$3$	$2$	$- 3$

	$2$

चरण 6.3

परिणाम $(2)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(3)$ से गुणा करें और $(6)$ के परिणाम को भाज्य $(- 3)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$3$	$2$	$- 3$
		$6$
	$2$

चरण 6.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$3$	$2$	$- 3$
		$6$
	$2$	$3$

चरण 6.5

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$2 + \frac{3}{x - 3}$

चरण 7

चूंकि $3 > 0$ और कृत्रिम विभाजन की निचली पंक्ति में सभी संकेत धनात्मक हैं, $3$ फलन की वास्तविक मूल के लिए उच्च परिबंध है.

उच्च परिबंध: $3$

चरण 8

$\frac{2 x - 3}{x + 3}$ पर $x = - 3$ होने पर कृत्रिम विभाजन लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$- 3$	$2$	$- 3$

चरण 8.2

भाज्य $(2)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$- 3$	$2$	$- 3$

	$2$

चरण 8.3

परिणाम $(2)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 3)$ से गुणा करें और $(- 6)$ के परिणाम को भाज्य $(- 3)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 3$	$2$	$- 3$
		$- 6$
	$2$

चरण 8.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- 3$	$2$	$- 3$
		$- 6$
	$2$	$- 9$

चरण 8.5

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$2 + \frac{- 9}{x + 3}$

चरण 8.6

भागफल बहुपद को सरल करें.

$2 - \frac{9}{x + 3}$

चरण 9

चूंकि $- 3 < 0$ और कृत्रिम विभाजन की निचली पंक्ति में संकेत वैकल्पिक संकेत, $- 3$ फलन की वास्तविक मूल के लिए निम्न परिबंध है.

निम्न परिबंध: $- 3$

चरण 10

$\frac{2 x - 3}{x - \frac{3}{2}}$ पर $x = \frac{3}{2}$ होने पर कृत्रिम विभाजन लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$

चरण 10.2

भाज्य $(2)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$

	$2$

चरण 10.3

परिणाम $(2)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(\frac{3}{2})$ से गुणा करें और $(3)$ के परिणाम को भाज्य $(- 3)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$
		$3$
	$2$

चरण 10.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$
		$3$
	$2$	$0$

चरण 10.5

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$2$

चरण 11

चूंकि $\frac{3}{2} > 0$ और कृत्रिम विभाजन की निचली पंक्ति में सभी संकेत धनात्मक हैं, $\frac{3}{2}$ फलन की वास्तविक मूल के लिए उच्च परिबंध है.

उच्च परिबंध: $\frac{3}{2}$

चरण 12

$\frac{2 x - 3}{x + \frac{3}{2}}$ पर $x = - \frac{3}{2}$ होने पर कृत्रिम विभाजन लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$- \frac{3}{2}$	$2$	$- 3$

चरण 12.2

भाज्य $(2)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$- \frac{3}{2}$	$2$	$- 3$

	$2$

चरण 12.3

परिणाम $(2)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- \frac{3}{2})$ से गुणा करें और $(- 3)$ के परिणाम को भाज्य $(- 3)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- \frac{3}{2}$	$2$	$- 3$
		$- 3$
	$2$

चरण 12.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- \frac{3}{2}$	$2$	$- 3$
		$- 3$
	$2$	$- 6$

चरण 12.5

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$2 + \frac{- 6}{x + \frac{3}{2}}$

चरण 12.6

भागफल बहुपद को सरल करें.

$2 - \frac{12}{2 x + 3}$

चरण 13

चूंकि $- \frac{3}{2} < 0$ और कृत्रिम विभाजन की निचली पंक्ति में संकेत वैकल्पिक संकेत, $- \frac{3}{2}$ फलन की वास्तविक मूल के लिए निम्न परिबंध है.

निम्न परिबंध: $- \frac{3}{2}$

चरण 14

ऊपरी और निचली सीमाएँ निर्धारित करें.

उच्च परिबंध: $3, \frac{3}{2}$

निम्न परिबंध: $- 1, - \frac{1}{2}, - 3, - \frac{3}{2}$

चरण 15

प्री-कैलकुलस उदाहरण