प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$

चरण 1

$f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ को एक समीकरण के रूप में लिखें.

$y = \ln (x + 2) + \ln (3)$

चरण 2

चर को एकदूसरे के साथ बदलें.

$x = \ln (y + 2) + \ln (3)$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण को $\ln (y + 2) + \ln (3) = x$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (y + 2) + \ln (3) = x$

चरण 3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$\ln ((y + 2) \cdot 3) = x$

चरण 3.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (y \cdot 3 + 2 \cdot 3) = x$

चरण 3.2.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

$3$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\ln (3 \cdot y + 2 \cdot 3) = x$

चरण 3.2.3.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\ln (3 y + 6) = x$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (3 y + 6)} = e^{x}$

चरण 3.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (3 y + 6) = x$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{x} = 3 y + 6$

चरण 3.5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

समीकरण को $3 y + 6 = e^{x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 y + 6 = e^{x}$

चरण 3.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $6$ घटाएं.

$3 y = e^{x} - 6$

चरण 3.5.3

$3 y = e^{x} - 6$ के प्रत्येक पद को $3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1

$3 y = e^{x} - 6$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

चरण 3.5.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

चरण 3.5.3.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

चरण 3.5.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.3.1

$- 6$ को $3$ से विभाजित करें.

$y = \frac{e^{x}}{3} - 2$

चरण 4

अंतिम उत्तर दिखाने के लिए $y$ को $f^{- 1} (x)$ से बदलें.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$

चरण 5

सत्यापित करें कि क्या $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$ , $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ का व्युत्क्रम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्युत्क्रम सत्यापित करने के लिए, जांचें कि क्या $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

चरण 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f^{- 1} (f (x))$

चरण 5.2.2

$f^{- 1}$ में $f$ का मान प्रतिस्थापित करके $f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3))$ का मान ज्ञात करें.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{e^{\ln (x + 2) + \ln (3)}}{3} - 2$

चरण 5.2.3

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{e^{\ln ((x + 2) \cdot 3)}}{3} - 2$

चरण 5.2.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1.1

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{(x + 2) \cdot 3}{3} - 2$

चरण 5.2.4.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{x \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3} - 2$

चरण 5.2.4.1.3

$3$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 \cdot x + 2 \cdot 3}{3} - 2$

चरण 5.2.4.1.4

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 \cdot x + 6}{3} - 2$

चरण 5.2.4.1.5

$3 x + 6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1.5.1

$3 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x) + 6}{3} - 2$

चरण 5.2.4.1.5.2

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 x + 3 \cdot 2}{3} - 2$

चरण 5.2.4.1.5.3

$3 x + 3 \cdot 2$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

चरण 5.2.4.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

चरण 5.2.4.2.2

$x + 2$ को $1$ से विभाजित करें.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x + 2 - 2$

चरण 5.2.5

$x + 2 - 2$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.1

$2$ में से $2$ घटाएं.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x + 0$

चरण 5.2.5.2

$x$ और $0$ जोड़ें.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x$

चरण 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f (f^{- 1} (x))$

चरण 5.3.2

$f$ में $f^{- 1}$ का मान प्रतिस्थापित करके $f (\frac{e^{x}}{3} - 2)$ का मान ज्ञात करें.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln ((\frac{e^{x}}{3} - 2) + 2) + \ln (3)$

चरण 5.3.3

$\ln ((\frac{e^{x}}{3} - 2) + 2) + \ln (3)$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

$- 2$ और $2$ जोड़ें.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} + 0) + \ln (3)$

चरण 5.3.3.2

$\frac{e^{x}}{3}$ और $0$ जोड़ें.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3}) + \ln (3)$

चरण 5.3.4

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} \cdot 3)$

चरण 5.3.5

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} \cdot 3)$

चरण 5.3.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (e^{x})$

चरण 5.3.6

$x$ को घातांक से बाहर निकालने के लिए लघुगणक नियमों का प्रयोग करें.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x \ln (e)$

चरण 5.3.7

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x \cdot 1$

चरण 5.3.8

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x$

चरण 5.4

चूँकि $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ , तो $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$ , $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ का व्युत्क्रम है.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$