प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{3} - 7 x^{2} + 25 x - 39$

चरण 1

$x^{3} - 7 x^{2} + 25 x - 39$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{3} - 7 x^{2} + 25 x - 39 = 0$

चरण 2

$x$ के लिए हल करें.

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चरण 2.1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} - 7 x^{2} + 25 x - 39$ है.

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चरण 2.1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 39, \pm 3, \pm 13$

$q = \pm 1$

चरण 2.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 39, \pm 3, \pm 13$

चरण 2.1.3

$3$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $3$ बहुपद का मूल है.

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चरण 2.1.3.1

$3$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$3^{3} - 7 \cdot 3^{2} + 25 \cdot 3 - 39$

चरण 2.1.3.2

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$27 - 7 \cdot 3^{2} + 25 \cdot 3 - 39$

चरण 2.1.3.3

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$27 - 7 \cdot 9 + 25 \cdot 3 - 39$

चरण 2.1.3.4

$- 7$ को $9$ से गुणा करें.

$27 - 63 + 25 \cdot 3 - 39$

चरण 2.1.3.5

$27$ में से $63$ घटाएं.

$- 36 + 25 \cdot 3 - 39$

चरण 2.1.3.6

$25$ को $3$ से गुणा करें.

$- 36 + 75 - 39$

चरण 2.1.3.7

$- 36$ और $75$ जोड़ें.

$39 - 39$

चरण 2.1.3.8

$39$ में से $39$ घटाएं.

$0$

चरण 2.1.4

चूँकि $3$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - 3$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} - 7 x^{2} + 25 x - 39}{x - 3}$

चरण 2.1.5

$x^{3} - 7 x^{2} + 25 x - 39$ को $x - 3$ से विभाजित करें.

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चरण 2.1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$3$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$25 x$

$39$

चरण 2.1.5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$25 x$	-	$39$

चरण 2.1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$25 x$	-	$39$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

चरण 2.1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} - 3 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$25 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

चरण 2.1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$25 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

चरण 2.1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$25 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$25 x$

चरण 2.1.5.7

भाज्य $- 4 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$25 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$25 x$

चरण 2.1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$25 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$25 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

चरण 2.1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 4 x^{2} + 12 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$25 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$25 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$12 x$

चरण 2.1.5.10

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$25 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$25 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$12 x$
							+	$13 x$

चरण 2.1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$25 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$25 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$12 x$
							+	$13 x$	-	$39$

चरण 2.1.5.12

भाज्य $13 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$13$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$25 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$25 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$12 x$
							+	$13 x$	-	$39$

चरण 2.1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$13$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$25 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$25 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$12 x$
							+	$13 x$	-	$39$
							+	$13 x$	-	$39$

चरण 2.1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $13 x - 39$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$13$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$25 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$25 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$12 x$
							+	$13 x$	-	$39$
							-	$13 x$	+	$39$

चरण 2.1.5.15

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$13$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$25 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$25 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$12 x$
							+	$13 x$	-	$39$
							-	$13 x$	+	$39$
										$0$

चरण 2.1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} - 4 x + 13$

चरण 2.1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} - 7 x^{2} + 25 x - 39$ लिखें.

$(x - 3) (x^{2} - 4 x + 13) = 0$

चरण 2.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 4 x + 13 = 0$

चरण 2.3

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 3 = 0$

चरण 2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$x = 3$

चरण 2.4

$x^{2} - 4 x + 13$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$x^{2} - 4 x + 13$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} - 4 x + 13 = 0$

चरण 2.4.2

$x$ के लिए $x^{2} - 4 x + 13 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 2.4.2.2

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = - 4$ और $c = 13$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.3.1.1

$- 4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 13$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.3.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.1.2.2

$- 4$ को $13$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 52}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.1.3

$16$ में से $52$ घटाएं.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.1.4

$- 36$ को $- 1 (36)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (36)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.1.7

$36$ को $6^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.1.8

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 6}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.1.9

$6$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{4 \pm 6 i}{2 \cdot 1}$

चरण 2.4.2.3.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 \pm 6 i}{2}$

चरण 2.4.2.3.3

$\frac{4 \pm 6 i}{2}$ को सरल करें.

$x = 2 \pm 3 i$

चरण 2.4.2.4

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = 2 + 3 i, 2 - 3 i$

चरण 2.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x - 3) (x^{2} - 4 x + 13) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 3, 2 + 3 i, 2 - 3 i$

चरण 3