प्री-कैलकुलस उदाहरण

$3 x^{3} + 16 x^{2} + 28 x + 16$

चरण 1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $3 x^{3} + 16 x^{2} + 28 x + 16$ है.

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चरण 1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3$

चरण 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 16, \pm 5.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 8, \pm 2.\overline{6}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}$

चरण 1.3

$- 2$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $- 2$ बहुपद का मूल है.

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चरण 1.3.1

$- 2$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$3 {(- 2)}^{3} + 16 {(- 2)}^{2} + 28 \cdot - 2 + 16$

चरण 1.3.2

$- 2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 \cdot - 8 + 16 {(- 2)}^{2} + 28 \cdot - 2 + 16$

चरण 1.3.3

$3$ को $- 8$ से गुणा करें.

$- 24 + 16 {(- 2)}^{2} + 28 \cdot - 2 + 16$

चरण 1.3.4

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 24 + 16 \cdot 4 + 28 \cdot - 2 + 16$

चरण 1.3.5

$16$ को $4$ से गुणा करें.

$- 24 + 64 + 28 \cdot - 2 + 16$

चरण 1.3.6

$- 24$ और $64$ जोड़ें.

$40 + 28 \cdot - 2 + 16$

चरण 1.3.7

$28$ को $- 2$ से गुणा करें.

$40 - 56 + 16$

चरण 1.3.8

$40$ में से $56$ घटाएं.

$- 16 + 16$

चरण 1.3.9

$- 16$ और $16$ जोड़ें.

$0$

चरण 1.4

चूँकि $- 2$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x + 2$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{3 x^{3} + 16 x^{2} + 28 x + 16}{x + 2}$

चरण 1.5

$3 x^{3} + 16 x^{2} + 28 x + 16$ को $x + 2$ से विभाजित करें.

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चरण 1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$2$

$3 x^{3}$

$16 x^{2}$

$28 x$

$16$

चरण 1.5.2

भाज्य $3 x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$3 x^{2}$
	$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$

चरण 1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			+	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

चरण 1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $3 x^{3} + 6 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$3 x^{2}$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

चरण 1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$

चरण 1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$

चरण 1.5.7

भाज्य $10 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$3 x^{2}$	+	$10 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$

चरण 1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$3 x^{2}$	+	$10 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$20 x$

चरण 1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $10 x^{2} + 20 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$3 x^{2}$	+	$10 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$

चरण 1.5.10

				$3 x^{2}$	+	$10 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$8 x$

चरण 1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$3 x^{2}$	+	$10 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$8 x$	+	$16$

चरण 1.5.12

भाज्य $8 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$3 x^{2}$	+	$10 x$	+	$8$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$8 x$	+	$16$

चरण 1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$3 x^{2}$	+	$10 x$	+	$8$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$8 x$	+	$16$
							+	$8 x$	+	$16$

चरण 1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $8 x + 16$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$3 x^{2}$	+	$10 x$	+	$8$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$8 x$	+	$16$
							-	$8 x$	-	$16$

चरण 1.5.15

				$3 x^{2}$	+	$10 x$	+	$8$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$8 x$	+	$16$
							-	$8 x$	-	$16$
										$0$

चरण 1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$3 x^{2} + 10 x + 8$

चरण 1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $3 x^{3} + 16 x^{2} + 28 x + 16$ लिखें.

$(x + 2) (3 x^{2} + 10 x + 8)$

चरण 2

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

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चरण 2.1

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

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चरण 2.1.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 3 \cdot 8 = 24$ है और जिसका योग $b = 10$ है.

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चरण 2.1.1.1

$10 x$ में से $10$ का गुणनखंड करें.

$(x + 2) (3 x^{2} + 10 (x) + 8)$

चरण 2.1.1.2

$10$ को $4$ जोड़ $6$ के रूप में फिर से लिखें

$(x + 2) (3 x^{2} + (4 + 6) x + 8)$

चरण 2.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x + 2) (3 x^{2} + 4 x + 6 x + 8)$

चरण 2.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$(x + 2) ((3 x^{2} + 4 x) + 6 x + 8)$

चरण 2.1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$(x + 2) (x (3 x + 4) + 2 (3 x + 4))$

चरण 2.1.3

महत्तम समापवर्तक, $3 x + 4$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(x + 2) ((3 x + 4) (x + 2))$

चरण 2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x + 2) (3 x + 4) (x + 2)$