प्री-कैलकुलस उदाहरण

$x^{5} - x^{4} - x^{3} + x^{2} - 12 x + 12$

चरण 1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

चरण 2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

चरण 3

वास्तविक मूल ज्ञात करने के लिए बहुपद में संभावित मूलों को एक-एक करके प्रतिस्थापित करें. यह जांचने के लिए सरल करें कि क्या मान $0$ है, जिसका मतलब है कि यह एक मूल है.

${(1)}^{5} - {(1)}^{4} - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

चरण 4

व्यंजक को सरल बनाएंं. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $x = 1$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$1 - {(1)}^{4} - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

चरण 4.1.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$1 - 1 \cdot 1 - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

चरण 4.1.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$1 - 1 - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

चरण 4.1.4

एक का कोई भी घात एक होता है.

$1 - 1 - 1 \cdot 1 + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

चरण 4.1.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$1 - 1 - 1 + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

चरण 4.1.6

एक का कोई भी घात एक होता है.

$1 - 1 - 1 + 1 - 12 \cdot 1 + 12$

चरण 4.1.7

$- 12$ को $1$ से गुणा करें.

$1 - 1 - 1 + 1 - 12 + 12$

चरण 4.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$1$ में से $1$ घटाएं.

$0 - 1 + 1 - 12 + 12$

चरण 4.2.2

$0$ में से $1$ घटाएं.

$- 1 + 1 - 12 + 12$

चरण 4.2.3

$- 1$ और $1$ जोड़ें.

$0 - 12 + 12$

चरण 4.2.4

$0$ में से $12$ घटाएं.

$- 12 + 12$

चरण 4.2.5

$- 12$ और $12$ जोड़ें.

$0$

चरण 5

चूंकि $1$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{5} - x^{4} - x^{3} + x^{2} - 12 x + 12}{x - 1}$

चरण 6

इसके बाद, शेष बहुपद के मूल ज्ञात कीजिए. बहुपद के क्रम को $1$ से कम कर दिया गया है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$

चरण 6.2

भाज्य $(1)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$

	$1$

चरण 6.3

परिणाम $(1)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(1)$ से गुणा करें और $(1)$ के परिणाम को भाज्य $(- 1)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$
	$1$

चरण 6.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$
	$1$	$0$

चरण 6.5

परिणाम $(0)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(1)$ से गुणा करें और $(0)$ के परिणाम को भाज्य $(- 1)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$
	$1$	$0$

चरण 6.6

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$
	$1$	$0$	$- 1$

चरण 6.7

परिणाम $(- 1)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(1)$ से गुणा करें और $(- 1)$ के परिणाम को भाज्य $(1)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$
	$1$	$0$	$- 1$

चरण 6.8

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$

चरण 6.9

परिणाम $(0)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(1)$ से गुणा करें और $(0)$ के परिणाम को भाज्य $(- 12)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$	$0$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$

चरण 6.10

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$	$0$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$

चरण 6.11

परिणाम $(- 12)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(1)$ से गुणा करें और $(- 12)$ के परिणाम को भाज्य $(12)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$

चरण 6.12

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$	$0$

चरण 6.13

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$1 x^{4} + 0 x^{3} - 1 x^{2} + 0 x - 12$

चरण 6.14

भागफल बहुपद को सरल करें.

$x^{4} - x^{2} - 12$

चरण 7

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$(x - 1) {(x^{2})}^{2} - x^{2} - 12$

चरण 8

मान लीजिए $u = x^{2}$ . $x^{2}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$(x - 1) u^{2} - u - 12$

चरण 9

AC विधि का उपयोग करके $u^{2} - u - 12$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 12$ है और जिसका योग $- 1$ है.

$- 4, 3$

चरण 9.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(x - 1) + (u - 4) (u + 3)$

$(x - 1) (u - 4) (u + 3)$

चरण 10

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$(x - 1) (x^{2} - 4) (x^{2} + 3)$

चरण 11

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$(x - 1) (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 3)$

चरण 12

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 2$ .

$(x - 1) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3)$

चरण 13

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

पदों को फिर से समूहित करें.

$x^{5} - x^{3} - 12 x - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

चरण 13.2

$x^{5} - x^{3} - 12 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1

$x^{5}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x \cdot x^{4} - x^{3} - 12 x - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

चरण 13.2.2

$- x^{3}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) - 12 x - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

चरण 13.2.3

$- 12 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot - 12 - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

चरण 13.2.4

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 12 - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

चरण 13.2.5

$x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 12$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x (x^{4} - x^{2} - 12) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

चरण 13.3

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x ({(x^{2})}^{2} - x^{2} - 12) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

चरण 13.4

मान लीजिए $u = x^{2}$ . $x^{2}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$x (u^{2} - u - 12) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

चरण 13.5

AC विधि का उपयोग करके $u^{2} - u - 12$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.5.1

$- 4, 3$

चरण 13.5.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$x ((u - 4) (u + 3)) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

चरण 13.6

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 3)) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

चरण 13.7

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 3)) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

चरण 13.8

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.8.1

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3)) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

चरण 13.8.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

चरण 13.9

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - {(x^{2})}^{2} + x^{2} + 12 = 0$

चरण 13.10

मान लीजिए $u = x^{2}$ . $x^{2}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} + u + 12 = 0$

चरण 13.11

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.11.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ है और जिसका योग $b = 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.11.1.1

$1$ से गुणा करें.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} + 1 u + 12 = 0$

चरण 13.11.1.2

$1$ को $- 3$ जोड़ $4$ के रूप में फिर से लिखें

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} + (- 3 + 4) u + 12 = 0$

चरण 13.11.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} - 3 u + 4 u + 12 = 0$

चरण 13.11.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.11.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} - 3 u + 4 u + 12 = 0$

चरण 13.11.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + u (- u - 3) - 4 (- u - 3) = 0$

चरण 13.11.3

महत्तम समापवर्तक, $- u - 3$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- u - 3) (u - 4) = 0$

चरण 13.12

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) (x^{2} - 4) = 0$

चरण 13.13

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

चरण 13.14

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.14.1

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

चरण 13.14.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) (x + 2) (x - 2) = 0$

चरण 13.15

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) (x + 2) (x - 2)$ में से $(x + 2) (x - 2)$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.15.1

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3)$ में से $(x + 2) (x - 2)$ का गुणनखंड करें.

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 3)) + (- x^{2} - 3) (x + 2) (x - 2) = 0$

चरण 13.15.2

$(- x^{2} - 3) (x + 2) (x - 2)$ में से $(x + 2) (x - 2)$ का गुणनखंड करें.

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 3)) + (x + 2) (x - 2) (- x^{2} - 3) = 0$

चरण 13.15.3

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 3)) + (x + 2) (x - 2) (- x^{2} - 3)$ में से $(x + 2) (x - 2)$ का गुणनखंड करें.

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 3) - x^{2} - 3) = 0$

चरण 13.16

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

चरण 13.17

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.17.1

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.17.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

चरण 13.17.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(x + 2) (x - 2) (x^{1 + 2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

चरण 13.17.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

चरण 13.18

$3$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + 3 x - x^{2} - 3) = 0$

चरण 13.19

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} - x^{2} + 3 x - 3) = 0$

चरण 13.20

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.20.1

$x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.20.1.1

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.20.1.1.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$(x + 2) (x - 2) ((x^{3} - x^{2}) + 3 x - 3) = 0$

चरण 13.20.1.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} (x - 1) + 3 (x - 1)) = 0$

चरण 13.20.1.2

महत्तम समापवर्तक, $x - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(x + 2) (x - 2) ((x - 1) (x^{2} + 3)) = 0$

चरण 13.20.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x + 2) (x - 2) (x - 1) (x^{2} + 3) = 0$

चरण 14

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

चरण 15

$x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 2 = 0$

चरण 15.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$x = - 2$

चरण 16

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 2 = 0$

चरण 16.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$x = 2$

चरण 17

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 1 = 0$

चरण 17.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = 1$

चरण 18

$x^{2} + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

$x^{2} + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} + 3 = 0$

चरण 18.2

$x$ के लिए $x^{2} + 3 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$x^{2} = - 3$

चरण 18.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

चरण 18.2.3

$\pm \sqrt{- 3}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.3.1

$- 3$ को $- 1 (3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

चरण 18.2.3.2

$\sqrt{- 1 (3)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

चरण 18.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i \sqrt{3}$

चरण 18.2.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = i \sqrt{3}$

चरण 18.2.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - i \sqrt{3}$

चरण 18.2.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

चरण 19

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x + 2) (x - 2) (x - 1) (x^{2} + 3) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 2, 2, 1, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

चरण 20