प्री-कैलकुलस उदाहरण

$x^{4} - 6 x^{3} - 3 x^{2} + 24 x - 4$

चरण 1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

चरण 2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

चरण 3

वास्तविक मूल ज्ञात करने के लिए बहुपद में संभावित मूलों को एक-एक करके प्रतिस्थापित करें. यह जांचने के लिए सरल करें कि क्या मान $0$ है, जिसका मतलब है कि यह एक मूल है.

${(2)}^{4} - 6 {(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} + 24 (2) - 4$

चरण 4

व्यंजक को सरल बनाएंं. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $x = 2$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$16 - 6 {(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} + 24 (2) - 4$

चरण 4.1.2

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$16 - 6 \cdot 8 - 3 {(2)}^{2} + 24 (2) - 4$

चरण 4.1.3

$- 6$ को $8$ से गुणा करें.

$16 - 48 - 3 {(2)}^{2} + 24 (2) - 4$

चरण 4.1.4

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$16 - 48 - 3 \cdot 4 + 24 (2) - 4$

चरण 4.1.5

$- 3$ को $4$ से गुणा करें.

$16 - 48 - 12 + 24 (2) - 4$

चरण 4.1.6

$24$ को $2$ से गुणा करें.

$16 - 48 - 12 + 48 - 4$

चरण 4.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$16$ में से $48$ घटाएं.

$- 32 - 12 + 48 - 4$

चरण 4.2.2

$- 32$ में से $12$ घटाएं.

$- 44 + 48 - 4$

चरण 4.2.3

$- 44$ और $48$ जोड़ें.

$4 - 4$

चरण 4.2.4

$4$ में से $4$ घटाएं.

$0$

चरण 5

चूंकि $2$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - 2$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{4} - 6 x^{3} - 3 x^{2} + 24 x - 4}{x - 2}$

चरण 6

इसके बाद, शेष बहुपद के मूल ज्ञात कीजिए. बहुपद के क्रम को $1$ से कम कर दिया गया है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$2$	$1$	$- 6$	$- 3$	$24$	$- 4$

चरण 6.2

भाज्य $(1)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$2$	$1$	$- 6$	$- 3$	$24$	$- 4$

	$1$

चरण 6.3

परिणाम $(1)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(2)$ से गुणा करें और $(2)$ के परिणाम को भाज्य $(- 6)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$2$	$1$	$- 6$	$- 3$	$24$	$- 4$
		$2$
	$1$

चरण 6.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$2$	$1$	$- 6$	$- 3$	$24$	$- 4$
		$2$
	$1$	$- 4$

चरण 6.5

परिणाम $(- 4)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(2)$ से गुणा करें और $(- 8)$ के परिणाम को भाज्य $(- 3)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$2$	$1$	$- 6$	$- 3$	$24$	$- 4$
		$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$

चरण 6.6

$2$	$1$	$- 6$	$- 3$	$24$	$- 4$
		$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$	$- 11$

चरण 6.7

परिणाम $(- 11)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(2)$ से गुणा करें और $(- 22)$ के परिणाम को भाज्य $(24)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$2$	$1$	$- 6$	$- 3$	$24$	$- 4$
		$2$	$- 8$	$- 22$
	$1$	$- 4$	$- 11$

चरण 6.8

$2$	$1$	$- 6$	$- 3$	$24$	$- 4$
		$2$	$- 8$	$- 22$
	$1$	$- 4$	$- 11$	$2$

चरण 6.9

परिणाम $(2)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(2)$ से गुणा करें और $(4)$ के परिणाम को भाज्य $(- 4)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$2$	$1$	$- 6$	$- 3$	$24$	$- 4$
		$2$	$- 8$	$- 22$	$4$
	$1$	$- 4$	$- 11$	$2$

चरण 6.10

$2$	$1$	$- 6$	$- 3$	$24$	$- 4$
		$2$	$- 8$	$- 22$	$4$
	$1$	$- 4$	$- 11$	$2$	$0$

चरण 6.11

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$1 x^{3} + - 4 x^{2} + (- 11) x + 2$

चरण 6.12

भागफल बहुपद को सरल करें.

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 2$

चरण 7

किसी भी शेष मूल को ज्ञात करने के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

चरण 7.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 2$

चरण 7.1.3

$- 2$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $- 2$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.3.1

$- 2$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

${(- 2)}^{3} - 4 {(- 2)}^{2} - 11 \cdot - 2 + 2$

चरण 7.1.3.2

$- 2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 8 - 4 {(- 2)}^{2} - 11 \cdot - 2 + 2$

चरण 7.1.3.3

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 8 - 4 \cdot 4 - 11 \cdot - 2 + 2$

चरण 7.1.3.4

$- 4$ को $4$ से गुणा करें.

$- 8 - 16 - 11 \cdot - 2 + 2$

चरण 7.1.3.5

$- 8$ में से $16$ घटाएं.

$- 24 - 11 \cdot - 2 + 2$

चरण 7.1.3.6

$- 11$ को $- 2$ से गुणा करें.

$- 24 + 22 + 2$

चरण 7.1.3.7

$- 24$ और $22$ जोड़ें.

$- 2 + 2$

चरण 7.1.3.8

$- 2$ और $2$ जोड़ें.

$0$

चरण 7.1.4

चूँकि $- 2$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x + 2$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 2}{x + 2}$

चरण 7.1.5

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 2$ को $x + 2$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$11 x$

$2$

चरण 7.1.5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$

चरण 7.1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

चरण 7.1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} + 2 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

चरण 7.1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

चरण 7.1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$11 x$

चरण 7.1.5.7

भाज्य $- 6 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$11 x$

चरण 7.1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$12 x$

चरण 7.1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 6 x^{2} - 12 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$

चरण 7.1.5.10

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$x$

चरण 7.1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$x$	+	$2$

चरण 7.1.5.12

भाज्य $x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$x$	+	$2$

चरण 7.1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$x$	+	$2$
							+	$x$	+	$2$

चरण 7.1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x + 2$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$x$	+	$2$
							-	$x$	-	$2$

चरण 7.1.5.15

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$1$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$11 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$x$	+	$2$
							-	$x$	-	$2$
										$0$

चरण 7.1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} - 6 x + 1$

चरण 7.1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 2$ लिखें.

$(x + 2) (x^{2} - 6 x + 1) = 0$

चरण 7.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 6 x + 1 = 0$

चरण 7.3

$x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$x + 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 2 = 0$

चरण 7.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$x = - 2$

चरण 7.4

$x^{2} - 6 x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

$x^{2} - 6 x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} - 6 x + 1 = 0$

चरण 7.4.2

$x$ के लिए $x^{2} - 6 x + 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 7.4.2.2

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = - 6$ और $c = 1$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.3.1.1

$- 6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.3.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2.3.1.2.2

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2.3.1.3

$36$ में से $4$ घटाएं.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2.3.1.4

$32$ को $4^{2} \cdot 2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.3.1.4.1

$32$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2.3.1.4.2

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2.3.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2.3.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

चरण 7.4.2.3.3

$\frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ को सरल करें.

$x = 3 \pm 2 \sqrt{2}$

चरण 7.4.2.4

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.4.1.1

$- 6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.4.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2.4.1.2.2

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2.4.1.3

$36$ में से $4$ घटाएं.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2.4.1.4

$32$ को $4^{2} \cdot 2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.4.1.4.1

$32$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2.4.1.4.2

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2.4.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2.4.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

चरण 7.4.2.4.3

$\frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ को सरल करें.

$x = 3 \pm 2 \sqrt{2}$

चरण 7.4.2.4.4

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$x = 3 + 2 \sqrt{2}$

चरण 7.4.2.5

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.5.1.1

$- 6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.5.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2.5.1.2.2

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2.5.1.3

$36$ में से $4$ घटाएं.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2.5.1.4

$32$ को $4^{2} \cdot 2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.2.5.1.4.1

$32$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2.5.1.4.2

$16$ को $4^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2.5.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2.5.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

चरण 7.4.2.5.3

$\frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ को सरल करें.

$x = 3 \pm 2 \sqrt{2}$

चरण 7.4.2.5.4

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$x = 3 - 2 \sqrt{2}$

चरण 7.4.2.6

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = 3 + 2 \sqrt{2}, 3 - 2 \sqrt{2}$

चरण 7.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x + 2) (x^{2} - 6 x + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 2, 3 + 2 \sqrt{2}, 3 - 2 \sqrt{2}$

चरण 8

बहुपद को रैखिक गुणनखंडों के सेट के रूप में लिखा जा सकता है.

$(x - 2) (x + 2) (x - 3 - 2 \sqrt{2}) (x - 3 + 2 \sqrt{2})$

चरण 9

ये बहुपद $x^{4} - 6 x^{3} - 3 x^{2} + 24 x - 4$ के मूल (शून्य) हैं.

$x = 2, - 2, 3 + 2 \sqrt{2}, 3 - 2 \sqrt{2}$

चरण 10

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$x = 2, - 2, 3 + 2 \sqrt{2}, 3 - 2 \sqrt{2}$

दशमलव रूप:

$x = 2, - 2, 5.82842712 \dots, 0.17157287 \dots$

चरण 11