प्री-कैलकुलस उदाहरण

$x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7$

चरण 1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1$

चरण 2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 7$

चरण 3

वास्तविक मूल ज्ञात करने के लिए बहुपद में संभावित मूलों को एक-एक करके प्रतिस्थापित करें. यह जांचने के लिए सरल करें कि क्या मान $0$ है, जिसका मतलब है कि यह एक मूल है.

${(- 7)}^{5} + 7 {(- 7)}^{4} + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

चरण 4

व्यंजक को सरल बनाएंं. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $x = - 7$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

कोष्ठक हटा दें.

${(- 7)}^{5} + 7 {(- 7)}^{4} + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

चरण 4.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$- 7$ को $5$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 16807 + 7 {(- 7)}^{4} + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

चरण 4.2.2

$- 7$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 16807 + 7 \cdot 2401 + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

चरण 4.2.3

$7$ को $2401$ से गुणा करें.

$- 16807 + 16807 + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

चरण 4.2.4

$- 7$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 16807 + 16807 + 2 \cdot - 343 + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

चरण 4.2.5

$2$ को $- 343$ से गुणा करें.

$- 16807 + 16807 - 686 + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

चरण 4.2.6

$- 7$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 16807 + 16807 - 686 + 14 \cdot 49 - 7 + 7$

चरण 4.2.7

$14$ को $49$ से गुणा करें.

$- 16807 + 16807 - 686 + 686 - 7 + 7$

चरण 4.3

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$- 16807$ और $16807$ जोड़ें.

$0 - 686 + 686 - 7 + 7$

चरण 4.3.2

$0$ में से $686$ घटाएं.

$- 686 + 686 - 7 + 7$

चरण 4.3.3

$- 686$ और $686$ जोड़ें.

$0 - 7 + 7$

चरण 4.3.4

$0$ में से $7$ घटाएं.

$- 7 + 7$

चरण 4.3.5

$- 7$ और $7$ जोड़ें.

$0$

चरण 5

चूंकि $- 7$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x + 7$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7}{x + 7}$

चरण 6

इसके बाद, शेष बहुपद के मूल ज्ञात कीजिए. बहुपद के क्रम को $1$ से कम कर दिया गया है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$

चरण 6.2

भाज्य $(1)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$

	$1$

चरण 6.3

परिणाम $(1)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 7)$ से गुणा करें और $(- 7)$ के परिणाम को भाज्य $(7)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$
	$1$

चरण 6.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$
	$1$	$0$

चरण 6.5

परिणाम $(0)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 7)$ से गुणा करें और $(0)$ के परिणाम को भाज्य $(2)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$
	$1$	$0$

चरण 6.6

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$
	$1$	$0$	$2$

चरण 6.7

परिणाम $(2)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 7)$ से गुणा करें और $(- 14)$ के परिणाम को भाज्य $(14)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$
	$1$	$0$	$2$

चरण 6.8

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$
	$1$	$0$	$2$	$0$

चरण 6.9

परिणाम $(0)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 7)$ से गुणा करें और $(0)$ के परिणाम को भाज्य $(1)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$
	$1$	$0$	$2$	$0$

चरण 6.10

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$
	$1$	$0$	$2$	$0$	$1$

चरण 6.11

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$	$- 7$
	$1$	$0$	$2$	$0$	$1$

चरण 6.12

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$	$- 7$
	$1$	$0$	$2$	$0$	$1$	$0$

चरण 6.13

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$1 x^{4} + 0 x^{3} + 2 x^{2} + 0 x + 1$

चरण 6.14

भागफल बहुपद को सरल करें.

$x^{4} + 2 x^{2} + 1$

चरण 7

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$(x + 7) {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1$

चरण 8

मान लीजिए $u = x^{2}$ . $x^{2}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$(x + 7) u^{2} + 2 u + 1$

चरण 9

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$(x + 7) + u^{2} + 2 u + 1^{2}$

चरण 9.2

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

चरण 9.3

बहुपद को फिर से लिखें.

$(x + 7) + u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}$

चरण 9.4

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = u$ और $b = 1$ है.

$(x + 7) + {(u + 1)}^{2}$

$(x + 7) {(u + 1)}^{2}$

चरण 10

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$(x + 7) {(x^{2} + 1)}^{2}$

चरण 11

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

पदों को फिर से समूहित करें.

$x^{5} + 2 x^{3} + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

चरण 11.2

$x^{5} + 2 x^{3} + x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

$x^{5}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x \cdot x^{4} + 2 x^{3} + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

चरण 11.2.2

$2 x^{3}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

चरण 11.2.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

चरण 11.2.4

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x \cdot 1 + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

चरण 11.2.5

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2})$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1 + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

चरण 11.2.6

$x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x (x^{4} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

चरण 11.3

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

चरण 11.4

मान लीजिए $u = x^{2}$ . $x^{2}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$x (u^{2} + 2 u + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

चरण 11.5

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x (u^{2} + 2 u + 1^{2}) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

चरण 11.5.2

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

चरण 11.5.3

बहुपद को फिर से लिखें.

$x (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

चरण 11.5.4

$x {(u + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

चरण 11.6

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

चरण 11.7

$7 x^{4} + 14 x^{2} + 7$ में से $7$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.7.1

$7 x^{4}$ में से $7$ का गुणनखंड करें.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 14 x^{2} + 7 = 0$

चरण 11.7.2

$14 x^{2}$ में से $7$ का गुणनखंड करें.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2}) + 7 = 0$

चरण 11.7.3

$7$ में से $7$ का गुणनखंड करें.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2}) + 7 (1) = 0$

चरण 11.7.4

$7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2})$ में से $7$ का गुणनखंड करें.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2}) + 7 (1) = 0$

चरण 11.7.5

$7 (x^{4} + 2 x^{2}) + 7 (1)$ में से $7$ का गुणनखंड करें.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) = 0$

चरण 11.8

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) = 0$

चरण 11.9

मान लीजिए $u = x^{2}$ . $x^{2}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

चरण 11.10

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.10.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

चरण 11.10.2

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

चरण 11.10.3

बहुपद को फिर से लिखें.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

चरण 11.10.4

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(u + 1)}^{2} = 0$

चरण 11.11

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

चरण 11.12

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(x^{2} + 1)}^{2}$ में से ${(x^{2} + 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.12.1

$x {(x^{2} + 1)}^{2}$ में से ${(x^{2} + 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

${(x^{2} + 1)}^{2} x + 7 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

चरण 11.12.2

$7 {(x^{2} + 1)}^{2}$ में से ${(x^{2} + 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

${(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 7 = 0$

चरण 11.12.3

${(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 7$ में से ${(x^{2} + 1)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$

चरण 12

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

$x + 7 = 0$

चरण 13

${(x^{2} + 1)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

${(x^{2} + 1)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

चरण 13.2

$x$ के लिए ${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1

$x^{2} + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} + 1 = 0$

चरण 13.2.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x^{2} = - 1$

चरण 13.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

चरण 13.2.2.3

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i$

चरण 13.2.2.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.2.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = i$

चरण 13.2.2.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - i$

चरण 13.2.2.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = i, - i$

चरण 14

$x + 7$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$x + 7$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 7 = 0$

चरण 14.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $7$ घटाएं.

$x = - 7$

चरण 15

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो ${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = i, - i, - 7$

चरण 16