प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{2 x + 7}$

चरण 1

पता करें कि व्यंजक/अभिव्यक्ति $\frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{2 x + 7}$ कहाँ अपरिभाषित है.

$x = - \frac{7}{2}$

चरण 2

परिमेय फलन $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ पर विचार करें जहां $n$ न्यूमेरेटर की घात है और $m$ भाजक की घात है.

1. यदि $n < m$ , तो x-अक्ष, $y = 0$ , हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट है.

2. यदि $n = m$ है, तो हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट रेखा $y = \frac{a}{b}$ है.

3. यदि $n > m$ है, तो कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है (एक तिरछी अनंतस्पर्शी है).

चरण 3

$n$ और $m$ पता करें.

$n = 2$

$m = 1$

चरण 4

चूंकि $n > m$ , कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है.

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

चरण 5

बहुपद भाजन का उपयोग करके तिरछी अनंतस्पर्शी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ है और जिसका योग $b = - 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.1

$- 2 x$ में से $- 2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 x^{2} - 2 (x) - 5}{2 x + 7}$

चरण 5.1.1.2

$- 2$ को $3$ जोड़ $- 5$ के रूप में फिर से लिखें

$\frac{3 x^{2} + (3 - 5) x - 5}{2 x + 7}$

चरण 5.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 x^{2} + 3 x - 5 x - 5}{2 x + 7}$

चरण 5.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$\frac{(3 x^{2} + 3 x) - 5 x - 5}{2 x + 7}$

चरण 5.1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$\frac{3 x (x + 1) - 5 (x + 1)}{2 x + 7}$

चरण 5.1.3

महत्तम समापवर्तक, $x + 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$\frac{(x + 1) (3 x - 5)}{2 x + 7}$

चरण 5.2

$(x + 1) (3 x - 5)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x (3 x - 5) + 1 (3 x - 5)}{2 x + 7}$

चरण 5.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x (3 x) + x \cdot - 5 + 1 (3 x - 5)}{2 x + 7}$

चरण 5.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x (3 x) + x \cdot - 5 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

चरण 5.2.4

कोष्ठक हटा दें.

$\frac{x \cdot (3 x) + x \cdot - 5 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

चरण 5.2.5

$x$ और $3$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) + x \cdot - 5 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

चरण 5.2.6

$x$ और $- 5$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) - 5 \cdot x + 1 (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

चरण 5.2.7

कोष्ठक हटा दें.

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) - 5 \cdot x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

चरण 5.2.8

$3$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{3 x \cdot x - 5 x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

चरण 5.2.9

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{3 (x \cdot x) - 5 x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

चरण 5.2.10

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{3 (x \cdot x) - 5 x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

चरण 5.2.11

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{3 x^{1 + 1} - 5 x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

चरण 5.2.12

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{3 x^{2} - 5 x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

चरण 5.2.13

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{3 x^{2} - 5 x + 3 x + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

चरण 5.2.14

$- 5$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{3 x^{2} - 5 x + 3 x - 5}{2 x + 7}$

चरण 5.2.15

$- 5 x$ और $3 x$ जोड़ें.

$\frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{2 x + 7}$

चरण 5.3

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$2 x$

$7$

$3 x^{2}$

$2 x$

$5$

चरण 5.4

भाज्य $3 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $2 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$\frac{3 x}{2}$
	$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$

चरण 5.5

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$\frac{3 x}{2}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			+	$3 x^{2}$	+	$\frac{21 x}{2}$

चरण 5.6

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $3 x^{2} + \frac{21 x}{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$\frac{3 x}{2}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$

चरण 5.7

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$\frac{3 x}{2}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$

चरण 5.8

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$\frac{3 x}{2}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$5$

चरण 5.9

भाज्य $- \frac{25 x}{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $2 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$\frac{3 x}{2}$	-	$\frac{25}{4}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$5$

चरण 5.10

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$\frac{3 x}{2}$	-	$\frac{25}{4}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$5$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$\frac{175}{4}$

चरण 5.11

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- \frac{25 x}{2} - \frac{175}{4}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$\frac{3 x}{2}$	-	$\frac{25}{4}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$5$
					+	$\frac{25 x}{2}$	+	$\frac{175}{4}$

चरण 5.12

				$\frac{3 x}{2}$	-	$\frac{25}{4}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$5$
					+	$\frac{25 x}{2}$	+	$\frac{175}{4}$
							+	$\frac{155}{4}$

चरण 5.13

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\frac{3 x}{2} - \frac{25}{4} + \frac{155}{4 (2 x + 7)}$

चरण 5.14

तिरछी अनंतस्पर्शी दीर्घ विभाजन परिणाम का लंबा भाग है.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{25}{4}$

चरण 6

यह सभी अनंतस्पर्शी का सेट है.

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी: $x = - \frac{7}{2}$

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

तिरछी अनंतस्पर्शी: $y = \frac{3 x}{2} - \frac{25}{4}$

चरण 7