प्री-कैलकुलस उदाहरण

$x^{4} + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x - 6$

चरण 1

पदों को फिर से समूहित करें.

$x^{4} + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x - 6$

चरण 2

$x^{4} + 3 x^{3}$ में से $x^{3}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x^{4}$ में से $x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$x^{3} x + 3 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x - 6$

चरण 2.2

$3 x^{3}$ में से $x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$x^{3} x + x^{3} \cdot 3 - 3 x^{2} - 11 x - 6$

चरण 2.3

$x^{3} x + x^{3} \cdot 3$ में से $x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$x^{3} (x + 3) - 3 x^{2} - 11 x - 6$

चरण 3

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = - 3 \cdot - 6 = 18$ है और जिसका योग $b = - 11$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$- 11 x$ में से $- 11$ का गुणनखंड करें.

$x^{3} (x + 3) - 3 x^{2} - 11 (x) - 6$

चरण 3.1.2

$- 11$ को $- 2$ जोड़ $- 9$ के रूप में फिर से लिखें

$x^{3} (x + 3) - 3 x^{2} + (- 2 - 9) x - 6$

चरण 3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{3} (x + 3) - 3 x^{2} - 2 x - 9 x - 6$

चरण 3.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$x^{3} (x + 3) + (- 3 x^{2} - 2 x) - 9 x - 6$

चरण 3.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$x^{3} (x + 3) + x (- 3 x - 2) + 3 (- 3 x - 2)$

चरण 3.3

महत्तम समापवर्तक, $- 3 x - 2$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$x^{3} (x + 3) + (- 3 x - 2) (x + 3)$

चरण 4

$x^{3} (x + 3) + (- 3 x - 2) (x + 3)$ में से $x + 3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x^{3} (x + 3)$ में से $x + 3$ का गुणनखंड करें.

$(x + 3) x^{3} + (- 3 x - 2) (x + 3)$

चरण 4.2

$(- 3 x - 2) (x + 3)$ में से $x + 3$ का गुणनखंड करें.

$(x + 3) x^{3} + (x + 3) (- 3 x - 2)$

चरण 4.3

$(x + 3) x^{3} + (x + 3) (- 3 x - 2)$ में से $x + 3$ का गुणनखंड करें.

$(x + 3) (x^{3} - 3 x - 2)$

चरण 5

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$x^{3} - 3 x - 2$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} - 3 x - 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

चरण 5.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 2$

चरण 5.1.1.3

$- 1$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $- 1$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.3.1

$- 1$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

${(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 - 2$

चरण 5.1.1.3.2

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1 - 3 \cdot - 1 - 2$

चरण 5.1.1.3.3

$- 3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 1 + 3 - 2$

चरण 5.1.1.3.4

$- 1$ और $3$ जोड़ें.

$2 - 2$

चरण 5.1.1.3.5

$2$ में से $2$ घटाएं.

$0$

चरण 5.1.1.4

चूँकि $- 1$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x + 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} - 3 x - 2}{x + 1}$

चरण 5.1.1.5

$x^{3} - 3 x - 2$ को $x + 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

चरण 5.1.1.5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$

चरण 5.1.1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

चरण 5.1.1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} + x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

चरण 5.1.1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

चरण 5.1.1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$

चरण 5.1.1.5.7

भाज्य $- x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$

चरण 5.1.1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

चरण 5.1.1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- x^{2} - x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

चरण 5.1.1.5.10

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$

चरण 5.1.1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$

चरण 5.1.1.5.12

भाज्य $- 2 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$

चरण 5.1.1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

चरण 5.1.1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 2 x - 2$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

चरण 5.1.1.5.15

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$
										$0$

चरण 5.1.1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} - x - 2$

चरण 5.1.1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} - 3 x - 2$ लिखें.

$(x + 3) ((x + 1) (x^{2} - x - 2))$

चरण 5.1.2

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - x - 2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - x - 2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 2$ है और जिसका योग $- 1$ है.

$- 2, 1$

चरण 5.1.2.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(x + 3) ((x + 1) ((x - 2) (x + 1)))$

चरण 5.1.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x + 3) ((x + 1) (x - 2) (x + 1))$

चरण 5.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x + 3) (x + 1) (x - 2) (x + 1)$

चरण 6

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x + 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(x + 3) ({(x + 1)}^{1} (x + 1)) (x - 2)$

चरण 6.2

$x + 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(x + 3) ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}) (x - 2)$

चरण 6.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$(x + 3) {(x + 1)}^{1 + 1} (x - 2)$

चरण 6.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$(x + 3) {(x + 1)}^{2} (x - 2)$