प्री-कैलकुलस उदाहरण

$2 \cos^{2} (t) - \cos (t) - 1 = 0$

चरण 1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लीजिए $u = \cos (t)$ . $\cos (t)$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$2 u^{2} - u - 1 = 0$

चरण 1.2

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ है और जिसका योग $b = - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.1

$- u$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$2 u^{2} - (u) - 1 = 0$

चरण 1.2.1.2

$- 1$ को $1$ जोड़ $- 2$ के रूप में फिर से लिखें

$2 u^{2} + (1 - 2) u - 1 = 0$

चरण 1.2.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1 = 0$

चरण 1.2.1.4

$u$ को $1$ से गुणा करें.

$2 u^{2} + u - 2 u - 1 = 0$

चरण 1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$(2 u^{2} + u) - 2 u - 1 = 0$

चरण 1.2.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$u (2 u + 1) - (2 u + 1) = 0$

चरण 1.2.3

महत्तम समापवर्तक, $2 u + 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(2 u + 1) (u - 1) = 0$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\cos (t)$ से बदलें.

$(2 \cos (t) + 1) (\cos (t) - 1) = 0$

चरण 2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$2 \cos (t) + 1 = 0$

$\cos (t) - 1 = 0$

चरण 3

$2 \cos (t) + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $t$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$2 \cos (t) + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 \cos (t) + 1 = 0$

चरण 3.2

$t$ के लिए $2 \cos (t) + 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$2 \cos (t) = - 1$

चरण 3.2.2

$2 \cos (t) = - 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$2 \cos (t) = - 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 \cos (t)}{2} = \frac{- 1}{2}$

चरण 3.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cos (t)}{2} = \frac{- 1}{2}$

चरण 3.2.2.2.1.2

$\cos (t)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\cos (t) = \frac{- 1}{2}$

चरण 3.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\cos (t) = - \frac{1}{2}$

चरण 3.2.3

कोज्या के अंदर से $t$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$t = \arccos (- \frac{1}{2})$

चरण 3.2.4

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ का सटीक मान $\frac{2 π}{3}$ है.

$t = \frac{2 π}{3}$

चरण 3.2.5

दूसरे और तीसरे चतुर्थांश में कोज्या फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल ज्ञात करने के लिए, तीसरे चतुर्थांश में हल ज्ञात करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$t = 2 π - \frac{2 π}{3}$

चरण 3.2.6

$2 π - \frac{2 π}{3}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.6.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$t = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

चरण 3.2.6.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.6.2.1

$2 π$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$t = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

चरण 3.2.6.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$t = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

चरण 3.2.6.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.6.3.1

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$t = \frac{6 π - 2 π}{3}$

चरण 3.2.6.3.2

$6 π$ में से $2 π$ घटाएं.

$t = \frac{4 π}{3}$

चरण 3.2.7

$\cos (t)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.7.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 3.2.7.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 3.2.7.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 3.2.7.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 3.2.8

$\cos (t)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$t = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 4

$\cos (t) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $t$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\cos (t) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\cos (t) - 1 = 0$

चरण 4.2

$t$ के लिए $\cos (t) - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$\cos (t) = 1$

चरण 4.2.2

$t = \arccos (1)$

चरण 4.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1

$\arccos (1)$ का सटीक मान $0$ है.

$t = 0$

चरण 4.2.4

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$t = 2 π - 0$

चरण 4.2.5

$2 π$ में से $0$ घटाएं.

$t = 2 π$

चरण 4.2.6

$\cos (t)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.6.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 4.2.6.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 4.2.6.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 4.2.6.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 4.2.7

$t = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(2 \cos (t) + 1) (\cos (t) - 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$t = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 6

उत्तरों को समेकित करें.

$t = \frac{2 π n}{3}$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए