प्री-कैलकुलस उदाहरण

$\log_{2} (8 x) - \log_{2} (x^{2} - 1) = \log_{2} (3)$

चरण 1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\log_{2} (\frac{8 x}{x^{2} - 1}) = \log_{2} (3)$

चरण 1.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\log_{2} (\frac{8 x}{x^{2} - 1^{2}}) = \log_{2} (3)$

चरण 1.2.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 1$ .

$\log_{2} (\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)}) = \log_{2} (3)$

चरण 2

समीकरण को समान होने के लिए, समीकरण के दोनों बाजुओं पर लघुगणक का तर्क समान होना चाहिए.

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} = 3$

चरण 3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

$(x + 1) (x - 1), 1$

चरण 3.1.2

एक और किसी भी व्यंजक का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) व्यंजक है.

$(x + 1) (x - 1)$

चरण 3.2

भिन्नों को हटाने के लिए $\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} = 3$ के प्रत्येक पद को $(x + 1) (x - 1)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} = 3$ के प्रत्येक पद को $(x + 1) (x - 1)$ से गुणा करें.

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = 3 ((x + 1) (x - 1))$

चरण 3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$(x + 1) (x - 1)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = 3 ((x + 1) (x - 1))$

चरण 3.2.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$8 x = 3 ((x + 1) (x - 1))$

चरण 3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + 1) (x - 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$8 x = 3 (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

चरण 3.2.3.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$8 x = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

चरण 3.2.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$8 x = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

चरण 3.2.3.2

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.2.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$8 x = 3 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

चरण 3.2.3.2.1.2

$- 1$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$8 x = 3 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

चरण 3.2.3.2.1.3

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$8 x = 3 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

चरण 3.2.3.2.1.4

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$8 x = 3 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

चरण 3.2.3.2.1.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$8 x = 3 (x^{2} - x + x - 1)$

चरण 3.2.3.2.2

$- x$ और $x$ जोड़ें.

$8 x = 3 (x^{2} + 0 - 1)$

चरण 3.2.3.2.3

$x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$8 x = 3 (x^{2} - 1)$

चरण 3.2.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$8 x = 3 x^{2} + 3 \cdot - 1$

चरण 3.2.3.4

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$8 x = 3 x^{2} - 3$

चरण 3.3

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $3 x^{2}$ घटाएं.

$8 x - 3 x^{2} = - 3$

चरण 3.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$8 x - 3 x^{2} + 3 = 0$

चरण 3.3.3

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

$8 x - 3 x^{2} + 3$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1.1

$8 x$ और $- 3 x^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$- 3 x^{2} + 8 x + 3 = 0$

चरण 3.3.3.1.2

$- 3 x^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (3 x^{2}) + 8 x + 3 = 0$

चरण 3.3.3.1.3

$8 x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (3 x^{2}) - (- 8 x) + 3 = 0$

चरण 3.3.3.1.4

$3$ को $- 1 (- 3)$ के रूप में फिर से लिखें.

$- (3 x^{2}) - (- 8 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

चरण 3.3.3.1.5

$- (3 x^{2}) - (- 8 x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (3 x^{2} - 8 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

चरण 3.3.3.1.6

$- (3 x^{2} - 8 x) - 1 (- 3)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (3 x^{2} - 8 x - 3) = 0$

चरण 3.3.3.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.2.1

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.2.1.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ है और जिसका योग $b = - 8$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.2.1.1.1

$- 8 x$ में से $- 8$ का गुणनखंड करें.

$- (3 x^{2} - 8 x - 3) = 0$

चरण 3.3.3.2.1.1.2

$- 8$ को $1$ जोड़ $- 9$ के रूप में फिर से लिखें

$- (3 x^{2} + (1 - 9) x - 3) = 0$

चरण 3.3.3.2.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- (3 x^{2} + 1 x - 9 x - 3) = 0$

चरण 3.3.3.2.1.1.4

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$- (3 x^{2} + x - 9 x - 3) = 0$

चरण 3.3.3.2.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.2.1.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$- ((3 x^{2} + x) - 9 x - 3) = 0$

चरण 3.3.3.2.1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$- (x (3 x + 1) - 3 (3 x + 1)) = 0$

चरण 3.3.3.2.1.3

महत्तम समापवर्तक, $3 x + 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$- ((3 x + 1) (x - 3)) = 0$

चरण 3.3.3.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$- (3 x + 1) (x - 3) = 0$

चरण 3.3.4

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$3 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

चरण 3.3.5

$3 x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.5.1

$3 x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$3 x + 1 = 0$

चरण 3.3.5.2

$x$ के लिए $3 x + 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$3 x = - 1$

चरण 3.3.5.2.2

$3 x = - 1$ के प्रत्येक पद को $3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.5.2.2.1

$3 x = - 1$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

चरण 3.3.5.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.5.2.2.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.5.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

चरण 3.3.5.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 1}{3}$

चरण 3.3.5.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.5.2.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{1}{3}$

चरण 3.3.6

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.6.1

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 3 = 0$

चरण 3.3.6.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$x = 3$

चरण 3.3.7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $- (3 x + 1) (x - 3) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - \frac{1}{3}, 3$

चरण 4

उन हलों को छोड़ दें जो $\log_{2} (8 x) - \log_{2} (x^{2} - 1) = \log_{2} (3)$ को सत्य नहीं बनाते हैं.

$x = 3$