प्री-कैलकुलस उदाहरण

$y = 3 \cos (\frac{1}{3} x)$

चरण 1

आयाम, अवधि, चरण बदलाव और ऊर्ध्वाधर बदलाव को पता करने के लिए प्रयोग किए जाने वाले चर को पता करने के लिए रूप $a \cos (b x - c) + d$ का प्रयोग करें.

$a = 3$

$b = \frac{1}{3}$

$c = 0$

$d = 0$

चरण 2

आयाम $| a |$ पता करें.

आयाम: $3$

चरण 3

$3 \cos (\frac{x}{3})$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 3.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $\frac{1}{3}$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

चरण 3.3

$\frac{1}{3}$ लगभग $0.\overline{3}$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

चरण 3.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$2 π \cdot 3$

चरण 3.5

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$6 π$

चरण 4

सूत्र $\frac{c}{b}$ का उपयोग करके चरण बदलाव पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

फलन के चरण बदलाव की गणना $\frac{c}{b}$ से की जा सकती है.

चरण बदलाव: $\frac{c}{b}$

चरण 4.2

चरण बदलाव के समीकरण में $c$ और $b$ के मान बदलें.

चरण बदलाव: $\frac{0}{\frac{1}{3}}$

चरण 4.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

चरण बदलाव: $0 \cdot 3$

चरण 4.4

$0$ को $3$ से गुणा करें.

चरण बदलाव: $0$

चरण 5

त्रिकोणमितीय फलन के गुणों की सूची बनाइए.

आयाम: $3$

आवर्त: $6 π$

चरण बदलाव: कोई नहीं

ऊर्ध्वाधर बदलाव: कोई नहीं

चरण 6

ग्राफ़ के लिए कुछ बिंदुओं का चयन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x = 0$ पर बिंदु पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f (0) = 3 \cos (\frac{0}{3})$

चरण 6.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1

$0$ को $3$ से विभाजित करें.

$f (0) = 3 \cos (0)$

चरण 6.1.2.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$f (0) = 3 \cdot 1$

चरण 6.1.2.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$f (0) = 3$

चरण 6.1.2.4

अंतिम उत्तर $3$ है.

$3$

चरण 6.2

$x = \frac{3 π}{2}$ पर बिंदु पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{3 π}{2}$ से बदलें.

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cos (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})$

चरण 6.2.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

चरण 6.2.2.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.2.1

$3 π$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cos (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

चरण 6.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

चरण 6.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cos (\frac{π}{2})$

चरण 6.2.2.3

$\cos (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $0$ है.

$f (\frac{3 π}{2}) = 3 \cdot 0$

चरण 6.2.2.4

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$f (\frac{3 π}{2}) = 0$

चरण 6.2.2.5

अंतिम उत्तर $0$ है.

$0$

चरण 6.3

$x = 3 π$ पर बिंदु पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $3 π$ से बदलें.

$f (3 π) = 3 \cos (\frac{3 π}{3})$

चरण 6.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (3 π) = 3 \cos (\frac{3 π}{3})$

चरण 6.3.2.1.2

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (3 π) = 3 \cos (π)$

चरण 6.3.2.2

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$f (3 π) = 3 (- \cos (0))$

चरण 6.3.2.3

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$f (3 π) = 3 (- 1 \cdot 1)$

चरण 6.3.2.4

$3 (- 1 \cdot 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.4.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f (3 π) = 3 \cdot - 1$

चरण 6.3.2.4.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (3 π) = - 3$

चरण 6.3.2.5

अंतिम उत्तर $- 3$ है.

$- 3$

चरण 6.4

$x = \frac{9 π}{2}$ पर बिंदु पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{9 π}{2}$ से बदलें.

$f (\frac{9 π}{2}) = 3 \cos (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})$

चरण 6.4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$f (\frac{9 π}{2}) = 3 \cos (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

चरण 6.4.2.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.2.1

$9 π$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{9 π}{2}) = 3 \cos (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

चरण 6.4.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{9 π}{2}) = 3 \cos (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

चरण 6.4.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{9 π}{2}) = 3 \cos (\frac{3 π}{2})$

चरण 6.4.2.3

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

$f (\frac{9 π}{2}) = 3 \cos (\frac{π}{2})$

चरण 6.4.2.4

$\cos (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $0$ है.

$f (\frac{9 π}{2}) = 3 \cdot 0$

चरण 6.4.2.5

$3$ को $0$ से गुणा करें.

$f (\frac{9 π}{2}) = 0$

चरण 6.4.2.6

अंतिम उत्तर $0$ है.

$0$

चरण 6.5

$x = 6 π$ पर बिंदु पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

व्यंजक में चर $x$ को $6 π$ से बदलें.

$f (6 π) = 3 \cos (\frac{6 π}{3})$

चरण 6.5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.2.1

$6$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.2.1.1

$6 π$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (6 π) = 3 \cos (\frac{3 (2 π)}{3})$

चरण 6.5.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.2.1.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$f (6 π) = 3 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 (1)})$

चरण 6.5.2.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (6 π) = 3 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1})$

चरण 6.5.2.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (6 π) = 3 \cos (\frac{2 π}{1})$

चरण 6.5.2.1.2.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (6 π) = 3 \cos (2 π)$

चरण 6.5.2.2

$2 π$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$f (6 π) = 3 \cos (0)$

चरण 6.5.2.3

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$f (6 π) = 3 \cdot 1$

चरण 6.5.2.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$f (6 π) = 3$

चरण 6.5.2.5

अंतिम उत्तर $3$ है.

$3$

चरण 6.6

एक तालिका में मुद्दों की सूची बनाएंं.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 3 \\ \frac{3 π}{2} & 0 \\ 3 π & - 3 \\ \frac{9 π}{2} & 0 \\ 6 π & 3 \end{array}$

चरण 7

त्रिकोणमितीय फलन को आयाम, अवधि, चरण बदलाव, ऊर्ध्वाधर बदलाव और बिंदुओं का उपयोग करके ग्राफ किया जा सकता है.

आयाम: $3$

आवर्त: $6 π$

चरण बदलाव: कोई नहीं

ऊर्ध्वाधर बदलाव: कोई नहीं

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 3 \\ \frac{3 π}{2} & 0 \\ 3 π & - 3 \\ \frac{9 π}{2} & 0 \\ 6 π & 3 \end{array}$

चरण 8