प्री-कैलकुलस उदाहरण

$3 \cos (2 x) - 5 \cos (x) = 1$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$3 \cos (2 x) - 5 \cos (x) - 1 = 0$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$\cos (2 x)$ को $2 \cos^{2} (x) - 1$ में बदलने के लिए दोहरा कोण सर्वसमिका का प्रयोग करें.

$3 (2 \cos^{2} (x) - 1) - 5 \cos (x) - 1 = 0$

चरण 2.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 (2 \cos^{2} (x)) + 3 \cdot - 1 - 5 \cos (x) - 1 = 0$

चरण 2.1.3

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$6 \cos^{2} (x) + 3 \cdot - 1 - 5 \cos (x) - 1 = 0$

चरण 2.1.4

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$6 \cos^{2} (x) - 3 - 5 \cos (x) - 1 = 0$

चरण 2.2

$- 3$ में से $1$ घटाएं.

$6 \cos^{2} (x) - 4 - 5 \cos (x) = 0$

चरण 3

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$6 \cos^{2} (x) - 5 \cos (x) - 4 = 0$

चरण 3.2

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 6 \cdot - 4 = - 24$ है और जिसका योग $b = - 5$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$- 5 \cos (x)$ में से $- 5$ का गुणनखंड करें.

$6 \cos^{2} (x) - 5 \cos (x) - 4 = 0$

चरण 3.2.2

$- 5$ को $3$ जोड़ $- 8$ के रूप में फिर से लिखें

$6 \cos^{2} (x) + (3 - 8) \cos (x) - 4 = 0$

चरण 3.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$6 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 8 \cos (x) - 4 = 0$

चरण 3.3

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$6 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 8 \cos (x) - 4 = 0$

चरण 3.3.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$3 \cos (x) (2 \cos (x) + 1) - 4 (2 \cos (x) + 1) = 0$

चरण 3.4

महत्तम समापवर्तक, $2 \cos (x) + 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(2 \cos (x) + 1) (3 \cos (x) - 4) = 0$

चरण 4

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$3 \cos (x) - 4 = 0$

चरण 5

$2 \cos (x) + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$2 \cos (x) + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 \cos (x) + 1 = 0$

चरण 5.2

$x$ के लिए $2 \cos (x) + 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$2 \cos (x) = - 1$

चरण 5.2.2

$2 \cos (x) = - 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$2 \cos (x) = - 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

चरण 5.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

चरण 5.2.2.2.1.2

$\cos (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

चरण 5.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

चरण 5.2.3

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

चरण 5.2.4

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ का सटीक मान $\frac{2 π}{3}$ है.

$x = \frac{2 π}{3}$

चरण 5.2.5

दूसरे और तीसरे चतुर्थांश में कोज्या फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल ज्ञात करने के लिए, तीसरे चतुर्थांश में हल ज्ञात करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

चरण 5.2.6

$2 π - \frac{2 π}{3}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

चरण 5.2.6.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.2.1

$2 π$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

चरण 5.2.6.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

चरण 5.2.6.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.3.1

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

चरण 5.2.6.3.2

$6 π$ में से $2 π$ घटाएं.

$x = \frac{4 π}{3}$

चरण 5.2.7

$\cos (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.7.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 5.2.7.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 5.2.7.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 5.2.7.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 5.2.8

$\cos (x)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 6

$3 \cos (x) - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$3 \cos (x) - 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$3 \cos (x) - 4 = 0$

चरण 6.2

$x$ के लिए $3 \cos (x) - 4 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $4$ जोड़ें.

$3 \cos (x) = 4$

चरण 6.2.2

$3 \cos (x) = 4$ के प्रत्येक पद को $3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$3 \cos (x) = 4$ के प्रत्येक पद को $3$ से विभाजित करें.

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{4}{3}$

चरण 6.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{4}{3}$

चरण 6.2.2.2.1.2

$\cos (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\cos (x) = \frac{4}{3}$

चरण 6.2.3

कोज्या की सीमा $- 1 \leq y \leq 1$ है. चूँकि $\frac{4}{3}$ इस श्रेणी में नहीं आता है, इसलिए कोई हल नहीं है.

कोई हल नहीं

चरण 7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(2 \cos (x) + 1) (3 \cos (x) - 4) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए