प्री-कैलकुलस उदाहरण

$\csc^{2} (x) = 6 \cot (x) + 8$

चरण 1

$\csc^{2} (x)$ को $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ पहचान के आधार पर $\cot^{2} (x) + 1$ से बदलें.

$\cot^{2} (x) + 1 = 6 \cot (x) + 8$

चरण 2

$u$ को $\cot (x)$ से प्रतिस्थापित करें.

${(u)}^{2} + 1 = 6 (u) + 8$

चरण 3

समीकरण के दोनों पक्षों से $6 u$ घटाएं.

$u^{2} + 1 - 6 u = 8$

चरण 4

समीकरण के दोनों पक्षों से $8$ घटाएं.

$u^{2} + 1 - 6 u - 8 = 0$

चरण 5

$1$ में से $8$ घटाएं.

$u^{2} - 6 u - 7 = 0$

चरण 6

AC विधि का उपयोग करके $u^{2} - 6 u - 7$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 7$ है और जिसका योग $- 6$ है.

$- 7, 1$

चरण 6.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(u - 7) (u + 1) = 0$

चरण 7

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$u - 7 = 0$

$u + 1 = 0$

चरण 8

$u - 7$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$u - 7$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$u - 7 = 0$

चरण 8.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $7$ जोड़ें.

$u = 7$

चरण 9

$u + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $u$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$u + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$u + 1 = 0$

चरण 9.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$u = - 1$

चरण 10

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(u - 7) (u + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$u = 7, - 1$

चरण 11

$\cot (x)$ को $u$ से प्रतिस्थापित करें.

$\cot (x) = 7, - 1$

चरण 12

$x$ को हल करने के लिए प्रत्येक हल सेट करें.

$\cot (x) = 7$

$\cot (x) = - 1$

चरण 13

$x$ के लिए $\cot (x) = 7$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

कोटिस्पर्शज्या के अंदर से $x$ को निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का व्युत्क्रम कोटिस्पर्शज्या लें.

$x = arccot (7)$

चरण 13.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1

$arccot (7)$ का मान ज्ञात करें.

$x = 0.14189705$

चरण 13.3

पहले और तीसरे चतुर्थांश में कोटिस्पर्शज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल ज्ञात करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल ज्ञात करने के लिए $π$ से संदर्भ कोण जोड़ें.

$x = (3.14159265) + 0.14189705$

चरण 13.4

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.4.1

कोष्ठक हटा दें.

$x = 3.14159265 + 0.14189705$

चरण 13.4.2

कोष्ठक हटा दें.

$x = (3.14159265) + 0.14189705$

चरण 13.4.3

$3.14159265$ और $0.14189705$ जोड़ें.

$x = 3.2834897$

चरण 13.5

$\cot (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{π}{| b |}$

चरण 13.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{π}{| 1 |}$

चरण 13.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{π}{1}$

चरण 13.5.4

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$π$

चरण 13.6

$\cot (x)$ फलन की अवधि $π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = 0.14189705 + π n, 3.2834897 + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 14

$x$ के लिए $\cot (x) = - 1$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$x = arccot (- 1)$

चरण 14.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.2.1

$arccot (- 1)$ का सटीक मान $\frac{3 π}{4}$ है.

$x = \frac{3 π}{4}$

चरण 14.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

चरण 14.4

दूसरा हल निकालने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.4.1

$2 π$ को $\frac{3 π}{4} - π$ में जोड़ें.

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

चरण 14.4.2

$\frac{7 π}{4}$ का परिणामी कोण $\frac{3 π}{4} - π$ के साथ धनात्मक और कोटरमिनल है.

$x = \frac{7 π}{4}$

चरण 14.5

$\cot (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{π}{| b |}$

चरण 14.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{π}{| 1 |}$

चरण 14.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{π}{1}$

चरण 14.5.4

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$π$

चरण 14.6

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 15

सभी हलों की सूची बनाएंं.

$x = 0.14189705 + π n, 3.2834897 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 16

हल समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

$0.14189705 + π n$ और $3.2834897 + π n$ को $0.14189705 + π n$ में समेकित करें.

$x = 0.14189705 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 16.2

$\frac{3 π}{4} + π n$ और $\frac{7 π}{4} + π n$ को $\frac{3 π}{4} + π n$ में समेकित करें.

$x = 0.14189705 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए