प्री-कैलकुलस उदाहरण

$x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$

चरण 1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

चरण 2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

चरण 3

वास्तविक मूल ज्ञात करने के लिए बहुपद में संभावित मूलों को एक-एक करके प्रतिस्थापित करें. यह जांचने के लिए सरल करें कि क्या मान $0$ है, जिसका मतलब है कि यह एक मूल है.

${(- 1)}^{4} - 2 {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 8 \cdot - 1 - 12$

चरण 4

व्यंजक को सरल बनाएंं. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $x = - 1$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$- 1$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 - 2 {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - 8 \cdot - 1 - 12$

चरण 4.1.2

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 - 2 \cdot - 1 + {(- 1)}^{2} - 8 \cdot - 1 - 12$

चरण 4.1.3

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 + 2 + {(- 1)}^{2} - 8 \cdot - 1 - 12$

चरण 4.1.4

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 + 2 + 1 - 8 \cdot - 1 - 12$

चरण 4.1.5

$- 8$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 + 2 + 1 + 8 - 12$

चरण 4.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$1$ और $2$ जोड़ें.

$3 + 1 + 8 - 12$

चरण 4.2.2

$3$ और $1$ जोड़ें.

$4 + 8 - 12$

चरण 4.2.3

$4$ और $8$ जोड़ें.

$12 - 12$

चरण 4.2.4

$12$ में से $12$ घटाएं.

$0$

चरण 5

चूंकि $- 1$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x + 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}{x + 1}$

चरण 6

इसके बाद, शेष बहुपद के मूल ज्ञात कीजिए. बहुपद के क्रम को $1$ से कम कर दिया गया है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$

चरण 6.2

भाज्य $(1)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$

	$1$

चरण 6.3

परिणाम $(1)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 1)$ से गुणा करें और $(- 1)$ के परिणाम को भाज्य $(- 2)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$
	$1$

चरण 6.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$
	$1$	$- 3$

चरण 6.5

परिणाम $(- 3)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 1)$ से गुणा करें और $(3)$ के परिणाम को भाज्य $(1)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$
	$1$	$- 3$

चरण 6.6

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$
	$1$	$- 3$	$4$

चरण 6.7

परिणाम $(4)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 1)$ से गुणा करें और $(- 4)$ के परिणाम को भाज्य $(- 8)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$	$- 4$
	$1$	$- 3$	$4$

चरण 6.8

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$	$- 4$
	$1$	$- 3$	$4$	$- 12$

चरण 6.9

परिणाम $(- 12)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 1)$ से गुणा करें और $(12)$ के परिणाम को भाज्य $(- 12)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$	$- 4$	$12$
	$1$	$- 3$	$4$	$- 12$

चरण 6.10

$- 1$	$1$	$- 2$	$1$	$- 8$	$- 12$
		$- 1$	$3$	$- 4$	$12$
	$1$	$- 3$	$4$	$- 12$	$0$

चरण 6.11

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$1 x^{3} + - 3 x^{2} + (4) x - 12$

चरण 6.12

भागफल बहुपद को सरल करें.

$x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 12$

चरण 7

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$(x + 1) (x^{3} - 3 x^{2}) + 4 x - 12$

चरण 7.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$(x + 1) + x^{2} (x - 3) + 4 (x - 3)$

$(x + 1) x^{2} (x - 3) + 4 (x - 3)$

चरण 8

महत्तम समापवर्तक, $x - 3$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(x + 1) (x - 3) (x^{2} + 4)$

चरण 9

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

पदों को फिर से समूहित करें.

$- 2 x^{3} - 8 x + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

चरण 9.2

$- 2 x^{3} - 8 x$ में से $- 2 x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$- 2 x^{3}$ में से $- 2 x$ का गुणनखंड करें.

$- 2 x \cdot x^{2} - 8 x + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

चरण 9.2.2

$- 8 x$ में से $- 2 x$ का गुणनखंड करें.

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot 4 + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

चरण 9.2.3

$- 2 x (x^{2}) - 2 x (4)$ में से $- 2 x$ का गुणनखंड करें.

$- 2 x (x^{2} + 4) + x^{4} + x^{2} - 12 = 0$

चरण 9.3

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 2 x (x^{2} + 4) + {(x^{2})}^{2} + x^{2} - 12 = 0$

चरण 9.4

मान लीजिए $u = x^{2}$ . $x^{2}$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$- 2 x (x^{2} + 4) + u^{2} + u - 12 = 0$

चरण 9.5

AC विधि का उपयोग करके $u^{2} + u - 12$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.5.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 12$ है और जिसका योग $1$ है.

$- 3, 4$

चरण 9.5.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$- 2 x (x^{2} + 4) + (u - 3) (u + 4) = 0$

चरण 9.6

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$- 2 x (x^{2} + 4) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 4) = 0$

चरण 9.7

$- 2 x (x^{2} + 4) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 4)$ में से $x^{2} + 4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.7.1

$- 2 x (x^{2} + 4)$ में से $x^{2} + 4$ का गुणनखंड करें.

$(x^{2} + 4) (- 2 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 4) = 0$

चरण 9.7.2

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 4)$ में से $x^{2} + 4$ का गुणनखंड करें.

$(x^{2} + 4) (- 2 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} - 3) = 0$

चरण 9.7.3

$(x^{2} + 4) (- 2 x) + (x^{2} + 4) (x^{2} - 3)$ में से $x^{2} + 4$ का गुणनखंड करें.

$(x^{2} + 4) (- 2 x + x^{2} - 3) = 0$

चरण 9.8

मान लीजिए $u = x$ . $x$ की सभी घटनाओं के लिए $u$ को प्रतिस्थापित करें.

$(x^{2} + 4) (- 2 u + u^{2} - 3) = 0$

चरण 9.9

AC विधि का उपयोग करके $- 2 u + u^{2} - 3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.9.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 3$ है और जिसका योग $- 2$ है.

$- 3, 1$

चरण 9.9.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(x^{2} + 4) ((u - 3) (u + 1)) = 0$

चरण 9.10

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.10.1

$u$ की सभी घटनाओं को $x$ से बदलें.

$(x^{2} + 4) ((x - 3) (x + 1)) = 0$

चरण 9.10.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x^{2} + 4) (x - 3) (x + 1) = 0$

चरण 10

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x^{2} + 4 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

चरण 11

$x^{2} + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$x^{2} + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{2} + 4 = 0$

चरण 11.2

$x$ के लिए $x^{2} + 4 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$x^{2} = - 4$

चरण 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

चरण 11.2.3

$\pm \sqrt{- 4}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.3.1

$- 4$ को $- 1 (4)$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

चरण 11.2.3.2

$\sqrt{- 1 (4)}$ को $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

चरण 11.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ को $i$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

चरण 11.2.3.4

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

चरण 11.2.3.5

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm i \cdot 2$

चरण 11.2.3.6

$2$ को $i$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \pm 2 i$

चरण 11.2.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = 2 i$

चरण 11.2.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - 2 i$

चरण 11.2.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = 2 i, - 2 i$

चरण 12

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$x - 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 3 = 0$

चरण 12.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ें.

$x = 3$

चरण 13

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 1 = 0$

चरण 13.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 14

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x^{2} + 4) (x - 3) (x + 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 2 i, - 2 i, 3, - 1$

चरण 15