प्री-कैलकुलस उदाहरण

$x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 12$

चरण 1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

चरण 2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

चरण 3

वास्तविक मूल ज्ञात करने के लिए बहुपद में संभावित मूलों को एक-एक करके प्रतिस्थापित करें. यह जांचने के लिए सरल करें कि क्या मान $0$ है, जिसका मतलब है कि यह एक मूल है.

${(3)}^{3} - 5 {(3)}^{2} + 2 (3) + 12$

चरण 4

व्यंजक को सरल बनाएंं. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $x = 3$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$27 - 5 {(3)}^{2} + 2 (3) + 12$

चरण 4.1.2

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$27 - 5 \cdot 9 + 2 (3) + 12$

चरण 4.1.3

$- 5$ को $9$ से गुणा करें.

$27 - 45 + 2 (3) + 12$

चरण 4.1.4

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$27 - 45 + 6 + 12$

चरण 4.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$27$ में से $45$ घटाएं.

$- 18 + 6 + 12$

चरण 4.2.2

$- 18$ और $6$ जोड़ें.

$- 12 + 12$

चरण 4.2.3

$- 12$ और $12$ जोड़ें.

$0$

चरण 5

चूंकि $3$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - 3$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 12}{x - 3}$

चरण 6

इसके बाद, शेष बहुपद के मूल ज्ञात कीजिए. बहुपद के क्रम को $1$ से कम कर दिया गया है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$3$	$1$	$- 5$	$2$	$12$

चरण 6.2

भाज्य $(1)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$3$	$1$	$- 5$	$2$	$12$

	$1$

चरण 6.3

परिणाम $(1)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(3)$ से गुणा करें और $(3)$ के परिणाम को भाज्य $(- 5)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$3$	$1$	$- 5$	$2$	$12$
		$3$
	$1$

चरण 6.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$3$	$1$	$- 5$	$2$	$12$
		$3$
	$1$	$- 2$

चरण 6.5

परिणाम $(- 2)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(3)$ से गुणा करें और $(- 6)$ के परिणाम को भाज्य $(2)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$3$	$1$	$- 5$	$2$	$12$
		$3$	$- 6$
	$1$	$- 2$

चरण 6.6

$3$	$1$	$- 5$	$2$	$12$
		$3$	$- 6$
	$1$	$- 2$	$- 4$

चरण 6.7

परिणाम $(- 4)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(3)$ से गुणा करें और $(- 12)$ के परिणाम को भाज्य $(12)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$3$	$1$	$- 5$	$2$	$12$
		$3$	$- 6$	$- 12$
	$1$	$- 2$	$- 4$

चरण 6.8

$3$	$1$	$- 5$	$2$	$12$
		$3$	$- 6$	$- 12$
	$1$	$- 2$	$- 4$	$0$

चरण 6.9

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$1 x^{2} + - 2 x - 4$

चरण 6.10

भागफल बहुपद को सरल करें.

$x^{2} - 2 x - 4$

चरण 7

किसी भी शेष मूल को ज्ञात करने के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 7.2

द्विघात सूत्र में $a = 1$ , $b = - 2$ और $c = - 4$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.3.1.2.2

$- 4$ को $- 4$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.3.1.3

$4$ और $16$ जोड़ें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.3.1.4

$20$ को $2^{2} \cdot 5$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.4.1

$20$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.3.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.3.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.3.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

चरण 7.3.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ को सरल करें.

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

चरण 7.4

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1.1

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.1.2.2

$- 4$ को $- 4$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.1.3

$4$ और $16$ जोड़ें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.1.4

$20$ को $2^{2} \cdot 5$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1.4.1

$20$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.4.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

चरण 7.4.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ को सरल करें.

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

चरण 7.4.4

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$x = 1 + \sqrt{5}$

चरण 7.5

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1.1

$- 2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1.2.1

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.5.1.2.2

$- 4$ को $- 4$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.5.1.3

$4$ और $16$ जोड़ें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.5.1.4

$20$ को $2^{2} \cdot 5$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1.4.1

$20$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.5.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.5.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

चरण 7.5.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

चरण 7.5.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ को सरल करें.

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

चरण 7.5.4

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$x = 1 - \sqrt{5}$

चरण 7.6

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

चरण 8

बहुपद को रैखिक गुणनखंडों के सेट के रूप में लिखा जा सकता है.

$(x - 3) (x - 1 - \sqrt{5}) (x - 1 + \sqrt{5})$

चरण 9

ये बहुपद $x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 12$ के मूल (शून्य) हैं.

$x = 3, 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

चरण 10

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$x = 3, 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

दशमलव रूप:

$x = 3, 3.23606797 \dots, - 1.23606797 \dots$

चरण 11