प्री-कैलकुलस उदाहरण

$4 x^{3} + 4 x^{2} - 7 x + 2$

चरण 1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $4 x^{3} + 4 x^{2} - 7 x + 2$ है.

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चरण 1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

चरण 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 2$

चरण 1.3

$0.5$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $0.5$ बहुपद का मूल है.

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चरण 1.3.1

$0.5$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$4 \cdot {0.5}^{3} + 4 \cdot {0.5}^{2} - 7 \cdot 0.5 + 2$

चरण 1.3.2

$0.5$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 \cdot 0.125 + 4 \cdot {0.5}^{2} - 7 \cdot 0.5 + 2$

चरण 1.3.3

$4$ को $0.125$ से गुणा करें.

$0.5 + 4 \cdot {0.5}^{2} - 7 \cdot 0.5 + 2$

चरण 1.3.4

$0.5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$0.5 + 4 \cdot 0.25 - 7 \cdot 0.5 + 2$

चरण 1.3.5

$4$ को $0.25$ से गुणा करें.

$0.5 + 1 - 7 \cdot 0.5 + 2$

चरण 1.3.6

$0.5$ और $1$ जोड़ें.

$1.5 - 7 \cdot 0.5 + 2$

चरण 1.3.7

$- 7$ को $0.5$ से गुणा करें.

$1.5 - 3.5 + 2$

चरण 1.3.8

$1.5$ में से $3.5$ घटाएं.

$- 2 + 2$

चरण 1.3.9

$- 2$ और $2$ जोड़ें.

$0$

चरण 1.4

चूँकि $0.5$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $2 x - 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{4 x^{3} + 4 x^{2} - 7 x + 2}{2 x - 1}$

चरण 1.5

$4 x^{3} + 4 x^{2} - 7 x + 2$ को $2 x - 1$ से विभाजित करें.

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चरण 1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$2 x$

$1$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$7 x$

$2$

चरण 1.5.2

भाज्य $4 x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $2 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$2 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$

चरण 1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			+	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

चरण 1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $4 x^{3} - 2 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

चरण 1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

चरण 1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$

चरण 1.5.7

भाज्य $6 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $2 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$

चरण 1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

चरण 1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $6 x^{2} - 3 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$

चरण 1.5.10

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$

चरण 1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	+	$2$

चरण 1.5.12

भाज्य $- 4 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $2 x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	+	$2$

चरण 1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	+	$2$
							-	$4 x$	+	$2$

चरण 1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 4 x + 2$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	+	$2$
							+	$4 x$	-	$2$

चरण 1.5.15

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$7 x$	+	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	+	$2$
							+	$4 x$	-	$2$
										$0$

चरण 1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$2 x^{2} + 3 x - 2$

चरण 1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $4 x^{3} + 4 x^{2} - 7 x + 2$ लिखें.

$(2 x - 1) (2 x^{2} + 3 x - 2)$

चरण 2

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

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चरण 2.1

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ है और जिसका योग $b = 3$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

$3 x$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$(2 x - 1) (2 x^{2} + 3 (x) - 2)$

चरण 2.1.1.2

$3$ को $- 1$ जोड़ $4$ के रूप में फिर से लिखें

$(2 x - 1) (2 x^{2} + (- 1 + 4) x - 2)$

चरण 2.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(2 x - 1) (2 x^{2} - 1 x + 4 x - 2)$

चरण 2.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$(2 x - 1) ((2 x^{2} - 1 x) + 4 x - 2)$

चरण 2.1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$(2 x - 1) (x (2 x - 1) + 2 (2 x - 1))$

चरण 2.1.3

महत्तम समापवर्तक, $2 x - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(2 x - 1) ((2 x - 1) (x + 2))$

चरण 2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(2 x - 1) (2 x - 1) (x + 2)$

चरण 3

समान गुणनखंडों को मिलाएं.

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चरण 3.1

$2 x - 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

${(2 x - 1)}^{1} (2 x - 1) (x + 2)$

चरण 3.2

$2 x - 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

${(2 x - 1)}^{1} {(2 x - 1)}^{1} (x + 2)$

चरण 3.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

${(2 x - 1)}^{1 + 1} (x + 2)$

चरण 3.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

${(2 x - 1)}^{2} (x + 2)$