प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{3} + 12 x^{2} + 21 x + 10$

चरण 1

$x^{3} + 12 x^{2} + 21 x + 10$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{3} + 12 x^{2} + 21 x + 10 = 0$

चरण 2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

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चरण 2.1.1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} + 12 x^{2} + 21 x + 10$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

$q = \pm 1$

चरण 2.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

चरण 2.1.1.3

$- 1$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $- 1$ बहुपद का मूल है.

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चरण 2.1.1.3.1

$- 1$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

${(- 1)}^{3} + 12 {(- 1)}^{2} + 21 \cdot - 1 + 10$

चरण 2.1.1.3.2

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1 + 12 {(- 1)}^{2} + 21 \cdot - 1 + 10$

चरण 2.1.1.3.3

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1 + 12 \cdot 1 + 21 \cdot - 1 + 10$

चरण 2.1.1.3.4

$12$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1 + 12 + 21 \cdot - 1 + 10$

चरण 2.1.1.3.5

$- 1$ और $12$ जोड़ें.

$11 + 21 \cdot - 1 + 10$

चरण 2.1.1.3.6

$21$ को $- 1$ से गुणा करें.

$11 - 21 + 10$

चरण 2.1.1.3.7

$11$ में से $21$ घटाएं.

$- 10 + 10$

चरण 2.1.1.3.8

$- 10$ और $10$ जोड़ें.

$0$

चरण 2.1.1.4

चूँकि $- 1$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x + 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} + 12 x^{2} + 21 x + 10}{x + 1}$

चरण 2.1.1.5

$x^{3} + 12 x^{2} + 21 x + 10$ को $x + 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$21 x$

$10$

चरण 2.1.1.5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$

चरण 2.1.1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

चरण 2.1.1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} + x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

चरण 2.1.1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$11 x^{2}$

चरण 2.1.1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$21 x$

चरण 2.1.1.5.7

भाज्य $11 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$21 x$

चरण 2.1.1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$21 x$
					+	$11 x^{2}$	+	$11 x$

चरण 2.1.1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $11 x^{2} + 11 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$21 x$
					-	$11 x^{2}$	-	$11 x$

चरण 2.1.1.5.10

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$21 x$
					-	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$10 x$

चरण 2.1.1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	+	$11 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$21 x$
					-	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$10 x$	+	$10$

चरण 2.1.1.5.12

भाज्य $10 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$21 x$
					-	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$10 x$	+	$10$

चरण 2.1.1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$21 x$
					-	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$10 x$	+	$10$
							+	$10 x$	+	$10$

चरण 2.1.1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $10 x + 10$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$21 x$
					-	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$10 x$	+	$10$
							-	$10 x$	-	$10$

चरण 2.1.1.5.15

				$x^{2}$	+	$11 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$21 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	+	$21 x$
					-	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$10 x$	+	$10$
							-	$10 x$	-	$10$
										$0$

चरण 2.1.1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} + 11 x + 10$

चरण 2.1.1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} + 12 x^{2} + 21 x + 10$ लिखें.

$(x + 1) (x^{2} + 11 x + 10) = 0$

चरण 2.1.2

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + 11 x + 10$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + 11 x + 10$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $10$ है और जिसका योग $11$ है.

$1, 10$

चरण 2.1.2.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(x + 1) ((x + 1) (x + 10)) = 0$

चरण 2.1.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x + 1) (x + 1) (x + 10) = 0$

चरण 2.1.3

समान गुणनखंडों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

$x + 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(x + 1) (x + 1) (x + 10) = 0$

चरण 2.1.3.2

$x + 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$(x + 1) (x + 1) (x + 10) = 0$

चरण 2.1.3.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

${(x + 1)}^{1 + 1} (x + 10) = 0$

चरण 2.1.3.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

${(x + 1)}^{2} (x + 10) = 0$

चरण 2.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

${(x + 1)}^{2} = 0$

$x + 10 = 0$

चरण 2.3

${(x + 1)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

${(x + 1)}^{2}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

${(x + 1)}^{2} = 0$

चरण 2.3.2

$x$ के लिए ${(x + 1)}^{2} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$x + 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 1 = 0$

चरण 2.3.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 2.4

$x + 10$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$x + 10$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 10 = 0$

चरण 2.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $10$ घटाएं.

$x = - 10$

चरण 2.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो ${(x + 1)}^{2} (x + 10) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 1, - 10$

चरण 3