प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$

चरण 1

$f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ को एक समीकरण के रूप में लिखें.

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

चरण 2

चर को एकदूसरे के साथ बदलें.

$x = 1 + \sqrt{1 + y}$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण को $1 + \sqrt{1 + y} = x$ के रूप में फिर से लिखें.

$1 + \sqrt{1 + y} = x$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$\sqrt{1 + y} = x - 1$

चरण 3.3

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें.

${\sqrt{1 + y}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

चरण 3.4

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$\sqrt{1 + y}$ को ${(1 + y)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

चरण 3.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1.1

घातांक को ${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

चरण 3.4.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

चरण 3.4.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

${(1 + y)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

चरण 3.4.2.1.2

सरल करें.

$1 + y = {(x - 1)}^{2}$

चरण 3.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1

${(x - 1)}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1.1

${(x - 1)}^{2}$ को $(x - 1) (x - 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$1 + y = (x - 1) (x - 1)$

चरण 3.4.3.1.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(x - 1) (x - 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 + y = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

चरण 3.4.3.1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

चरण 3.4.3.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

चरण 3.4.3.1.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1.3.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$1 + y = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

चरण 3.4.3.1.3.1.2

$- 1$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$1 + y = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

चरण 3.4.3.1.3.1.3

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$1 + y = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

चरण 3.4.3.1.3.1.4

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$1 + y = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

चरण 3.4.3.1.3.1.5

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 + y = x^{2} - x - x + 1$

चरण 3.4.3.1.3.2

$- x$ में से $x$ घटाएं.

$1 + y = x^{2} - 2 x + 1$

चरण 3.5

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$y = x^{2} - 2 x + 1 - 1$

चरण 3.5.2

$x^{2} - 2 x + 1 - 1$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

$1$ में से $1$ घटाएं.

$y = x^{2} - 2 x + 0$

चरण 3.5.2.2

$x^{2} - 2 x$ और $0$ जोड़ें.

$y = x^{2} - 2 x$

चरण 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$

चरण 5

सत्यापित करें कि क्या $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ , $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ का व्युत्क्रम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्युत्क्रम सत्यापित करने के लिए, जांचें कि क्या $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

चरण 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f^{- 1} (f (x))$

चरण 5.2.2

$f^{- 1}$ में $f$ का मान प्रतिस्थापित करके $f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x})$ का मान ज्ञात करें.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = {(1 + \sqrt{1 + x})}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

चरण 5.2.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

${(1 + \sqrt{1 + x})}^{2}$ को $(1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x})$ के रूप में फिर से लिखें.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = (1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

चरण 5.2.3.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x})$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 (1 + \sqrt{1 + x}) + \sqrt{1 + x} (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

चरण 5.2.3.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

चरण 5.2.3.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

चरण 5.2.3.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.3.1.1

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

चरण 5.2.3.3.1.2

$\sqrt{1 + x}$ को $1$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

चरण 5.2.3.3.1.3

$\sqrt{1 + x}$ को $1$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

चरण 5.2.3.3.1.4

$\sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.3.1.4.1

$\sqrt{1 + x}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

चरण 5.2.3.3.1.4.2

$\sqrt{1 + x}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

चरण 5.2.3.3.1.4.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {\sqrt{1 + x}}^{1 + 1} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

चरण 5.2.3.3.1.4.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {\sqrt{1 + x}}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

चरण 5.2.3.3.1.5

${\sqrt{1 + x}}^{2}$ को $1 + x$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.3.1.5.1

$\sqrt{1 + x}$ को ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

चरण 5.2.3.3.1.5.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

चरण 5.2.3.3.1.5.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

चरण 5.2.3.3.1.5.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.3.1.5.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

चरण 5.2.3.3.1.5.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + 1 + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

चरण 5.2.3.3.1.5.5

सरल करें.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + 1 + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

चरण 5.2.3.3.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

चरण 5.2.3.3.3

$\sqrt{1 + x}$ और $\sqrt{1 + x}$ जोड़ें.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

चरण 5.2.3.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \cdot 1 - 2 \sqrt{1 + x}$

चरण 5.2.3.5

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 - 2 \sqrt{1 + x}$

चरण 5.2.4

$2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 - 2 \sqrt{1 + x}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1

$2$ में से $2$ घटाएं.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 0 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \sqrt{1 + x}$

चरण 5.2.4.2

$0$ और $2 \sqrt{1 + x}$ जोड़ें.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \sqrt{1 + x}$

चरण 5.2.4.3

$2 \sqrt{1 + x}$ में से $2 \sqrt{1 + x}$ घटाएं.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = x + 0$

चरण 5.2.4.4

$x$ और $0$ जोड़ें.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = x$

चरण 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f (f^{- 1} (x))$

चरण 5.3.2

$f$ में $f^{- 1}$ का मान प्रतिस्थापित करके $f (x^{2} - 2 x)$ का मान ज्ञात करें.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 + x^{2} - 2 x}$

चरण 5.3.3

कोष्ठक हटा दें.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 + x^{2} - 2 x}$

चरण 5.3.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1.1

पदों को पुनर्व्यवस्थित करें.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 - 2 x + x^{2}}$

चरण 5.3.4.1.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1^{2} - 2 x + x^{2}}$

चरण 5.3.4.1.3

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

चरण 5.3.4.1.4

बहुपद को फिर से लिखें.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2}}$

चरण 5.3.4.1.5

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = 1$ और $b = x$ है.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{{(1 - x)}^{2}}$

चरण 5.3.4.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + 1 - x$

चरण 5.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.5.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f (x^{2} - 2 x) = 2 - x$

चरण 5.3.5.2

$2$ और $- x$ को पुन: क्रमित करें.

$f (x^{2} - 2 x) = - x + 2$

चरण 5.4

चूँकि $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ , तो $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ , $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ का व्युत्क्रम है.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$