प्री-कैलकुलस उदाहरण

$\sum_{k = 1}^{8} 4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$

चरण 1

एक परिमित ज्यामितीय श्रृंखला का योग सूत्र $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ का उपयोग करके पता किया जा सकता है जहां $a$ पहला पद है और $r$ क्रमिक पदों के बीच का अनुपात है.

चरण 2

सूत्र $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ में प्लग इन करके और सरलीकरण करके क्रमागत पदों का अनुपात ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$a_{k}$ और $a_{k + 1}$ को $r$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

चरण 2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

चरण 2.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

चरण 2.2.2

${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ और ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ में से ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ का गुणनखंड करें.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

चरण 2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.2.1

$1$ से गुणा करें.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

चरण 2.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

चरण 2.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

चरण 2.2.2.2.4

${(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$ को $1$ से विभाजित करें.

$r = {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$

चरण 2.2.3

$k$ और $0$ जोड़ें.

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - (k - 1)}$

चरण 2.2.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k - - 1}$

चरण 2.2.4.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k + 1}$

चरण 2.2.5

$k$ में से $k$ घटाएं.

$r = {(\frac{2}{3})}^{0 + 1}$

चरण 2.2.6

$0$ और $1$ जोड़ें.

$r = {(\frac{2}{3})}^{1}$

चरण 2.2.7

सरल करें.

$r = \frac{2}{3}$

चरण 3

निम्न परिबंध में प्रतिस्थापित करके और सरलीकरण करके श्रृंखला का पहला पद ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$k$ के स्थान पर $4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ में $1$ प्रतिस्थापित करें.

$a = 4 {(\frac{2}{3})}^{1 - 1}$

चरण 3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$1$ में से $1$ घटाएं.

$a = 4 {(\frac{2}{3})}^{0}$

चरण 3.2.2

उत्पाद नियम को $\frac{2}{3}$ पर लागू करें.

$a = 4 \frac{2^{0}}{3^{0}}$

चरण 3.2.3

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$a = 4 \frac{1}{3^{0}}$

चरण 3.2.4

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$a = 4 (\frac{1}{1})$

चरण 3.2.5

$1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$a = 4 (\frac{1}{1})$

चरण 3.2.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$a = 4 \cdot 1$

चरण 3.2.6

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$a = 4$

चरण 4

योग सूत्र में अनुपात, प्रथम पद और पदों की संख्या के मान को प्रतिस्थापित करें.

$4 \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}}$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$\frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}}$ को $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$4 (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}})$

चरण 5.1.2

जोड़ना.

$4 \frac{3 (1 - {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 (1 - \frac{2}{3})}$

चरण 5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{2}{3})}$

चरण 5.3

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$- \frac{2}{3}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

चरण 5.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

चरण 5.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 2}$

चरण 5.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$4 \frac{3 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 2}$

चरण 5.4.2

उत्पाद नियम को $\frac{2}{3}$ पर लागू करें.

$4 \frac{3 + 3 (- \frac{2^{8}}{3^{8}})}{3 \cdot 1 - 2}$

चरण 5.4.3

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1

$- \frac{2^{8}}{3^{8}}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 2}$

चरण 5.4.3.2

$3^{8}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

चरण 5.4.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

चरण 5.4.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$4 \frac{3 + \frac{- 2^{8}}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

चरण 5.4.4

$2$ को $8$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 256}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

चरण 5.4.5

$3$ को $7$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

चरण 5.4.6

$- 1$ को $256$ से गुणा करें.

$4 \frac{3 + \frac{- 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

चरण 5.4.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$4 \frac{3 - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

चरण 5.4.8

$3$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2187}{2187}$ से गुणा करें.

$4 \frac{3 \cdot \frac{2187}{2187} - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

चरण 5.4.9

$3$ और $\frac{2187}{2187}$ को मिलाएं.

$4 \frac{\frac{3 \cdot 2187}{2187} - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

चरण 5.4.10

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$4 \frac{\frac{3 \cdot 2187 - 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

चरण 5.4.11

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.11.1

$3$ को $2187$ से गुणा करें.

$4 \frac{\frac{6561 - 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

चरण 5.4.11.2

$6561$ में से $256$ घटाएं.

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

चरण 5.5

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{3 - 2}$

चरण 5.5.2

$3$ में से $2$ घटाएं.

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{1}$

चरण 5.6

$\frac{6305}{2187}$ को $1$ से विभाजित करें.

$4 (\frac{6305}{2187})$

चरण 5.7

$4 (\frac{6305}{2187})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.1

$4$ और $\frac{6305}{2187}$ को मिलाएं.

$\frac{4 \cdot 6305}{2187}$

चरण 5.7.2

$4$ को $6305$ से गुणा करें.

$\frac{25220}{2187}$

चरण 6

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{25220}{2187}$

दशमलव रूप:

$11.53177869 \dots$

मिश्रित संख्या रूप:

$11 \frac{1163}{2187}$