प्री-कैलकुलस उदाहरण

$x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12 = 0$

चरण 1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

चरण 1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

चरण 1.1.3

$1$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $1$ बहुपद का मूल है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

$1$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 20 \cdot 1 - 12$

चरण 1.1.3.2

$1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 - 9 \cdot 1^{2} + 20 \cdot 1 - 12$

चरण 1.1.3.3

$1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$1 - 9 \cdot 1 + 20 \cdot 1 - 12$

चरण 1.1.3.4

$- 9$ को $1$ से गुणा करें.

$1 - 9 + 20 \cdot 1 - 12$

चरण 1.1.3.5

$1$ में से $9$ घटाएं.

$- 8 + 20 \cdot 1 - 12$

चरण 1.1.3.6

$20$ को $1$ से गुणा करें.

$- 8 + 20 - 12$

चरण 1.1.3.7

$- 8$ और $20$ जोड़ें.

$12 - 12$

चरण 1.1.3.8

$12$ में से $12$ घटाएं.

$0$

चरण 1.1.4

चूँकि $1$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - 1$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12}{x - 1}$

चरण 1.1.5

$x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12$ को $x - 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$20 x$

$12$

चरण 1.1.5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$

चरण 1.1.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

चरण 1.1.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} - x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

चरण 1.1.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

चरण 1.1.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$

चरण 1.1.5.7

भाज्य $- 8 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$

चरण 1.1.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

चरण 1.1.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 8 x^{2} + 8 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

चरण 1.1.5.10

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$12 x$

चरण 1.1.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$12 x$	-	$12$

चरण 1.1.5.12

भाज्य $12 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$12$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$12 x$	-	$12$

चरण 1.1.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$12$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$12 x$	-	$12$
							+	$12 x$	-	$12$

चरण 1.1.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $12 x - 12$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$12$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$12 x$	-	$12$
							-	$12 x$	+	$12$

चरण 1.1.5.15

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$12$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$20 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$20 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$12 x$	-	$12$
							-	$12 x$	+	$12$
										$0$

चरण 1.1.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} - 8 x + 12$

चरण 1.1.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} - 9 x^{2} + 20 x - 12$ लिखें.

$(x - 1) (x^{2} - 8 x + 12) = 0$

चरण 1.2

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - 8 x + 12$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - 8 x + 12$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $12$ है और जिसका योग $- 8$ है.

$- 6, - 2$

चरण 1.2.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$(x - 1) ((x - 6) (x - 2)) = 0$

चरण 1.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$(x - 1) (x - 6) (x - 2) = 0$

चरण 2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x - 1 = 0$

$x - 6 = 0$

$x - 2 = 0$

चरण 3

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 1 = 0$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$x = 1$

चरण 4

$x - 6$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x - 6$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 6 = 0$

चरण 4.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $6$ जोड़ें.

$x = 6$

चरण 5

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 2 = 0$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$x = 2$

चरण 6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x - 1) (x - 6) (x - 2) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 1, 6, 2$