प्री-कैलकुलस उदाहरण

$\frac{x + 2}{x + 3} < \frac{x - 1}{x - 2}$

चरण 1

असमानता के दोनों पक्षों से $\frac{x - 1}{x - 2}$ घटाएं.

$\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{x - 1}{x - 2} < 0$

चरण 2

$\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{x - 1}{x - 2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{x + 2}{x + 3}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x - 2}{x - 2}$ से गुणा करें.

$\frac{x + 2}{x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x - 1}{x - 2} < 0$

चरण 2.2

$- \frac{x - 1}{x - 2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x + 3}{x + 3}$ से गुणा करें.

$\frac{x + 2}{x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x - 1}{x - 2} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} < 0$

चरण 2.3

प्रत्येक व्यंजक को $(x + 3) (x - 2)$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\frac{x + 2}{x + 3}$ को $\frac{x - 2}{x - 2}$ से गुणा करें.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{x - 1}{x - 2} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} < 0$

चरण 2.3.2

$\frac{x - 1}{x - 2}$ को $\frac{x + 3}{x + 3}$ से गुणा करें.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x - 2) (x + 3)} < 0$

चरण 2.3.3

$(x - 2) (x + 3)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

चरण 2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{(x + 2) (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

चरण 2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + 2) (x - 2)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x (x - 2) + 2 (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

चरण 2.5.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

चरण 2.5.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

चरण 2.5.2

$x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

गुणनखंडों को $x \cdot - 2$ और $2 x$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

चरण 2.5.2.2

$- 2 x$ और $2 x$ जोड़ें.

$\frac{x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

चरण 2.5.2.3

$x \cdot x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x \cdot x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

चरण 2.5.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.3.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

चरण 2.5.3.2

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} - 4 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

चरण 2.5.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} - 4 + (- x - - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

चरण 2.5.5

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} - 4 + (- x + 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

चरण 2.5.6

FOIL विधि का उपयोग करके $(- x + 1) (x + 3)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} - 4 - x (x + 3) + 1 (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

चरण 2.5.6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} - 4 - x \cdot x - x \cdot 3 + 1 (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

चरण 2.5.6.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} - 4 - x \cdot x - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

चरण 2.5.7

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.7.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.7.1.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.7.1.1.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{x^{2} - 4 - (x \cdot x) - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

चरण 2.5.7.1.1.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

चरण 2.5.7.1.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

चरण 2.5.7.1.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

चरण 2.5.7.1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

चरण 2.5.7.2

$- 3 x$ और $x$ जोड़ें.

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

चरण 2.5.8

$x^{2}$ में से $x^{2}$ घटाएं.

$\frac{0 - 4 - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

चरण 2.5.9

$0$ में से $4$ घटाएं.

$\frac{- 4 - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

चरण 2.5.10

$- 4$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{- 2 x - 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

चरण 2.6

$- 2 x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (2 x) - 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

चरण 2.7

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- (2 x) - 1 (1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

चरण 2.8

$- (2 x) - 1 (1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (2 x + 1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

चरण 2.9

$- (2 x + 1)$ को $- 1 (2 x + 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (2 x + 1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

चरण 2.10

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

चरण 3

प्रत्येक गुणनखंड को $0$ के बराबर रखकर और उसे हल करके ऐसे सभी मान पता करें जहाँ व्यंजक नकारात्मक से सकारात्मक में परिवर्तित होता है.

$2 x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

चरण 4

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$2 x = - 1$

चरण 5

$2 x = - 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$2 x = - 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

चरण 5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

चरण 5.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 1}{2}$

चरण 5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{1}{2}$

चरण 6

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$x = - 3$

चरण 7

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$x = 2$

चरण 8

प्रत्येक गुणनखंड के लिए उन मानों को प्राप्त करने के लिए हल करें जहां निरपेक्ष मान व्यंजक ऋणात्मक से धनात्मक हो जाता है.

$x = - \frac{1}{2}$

$x = - 3$

$x = 2$

चरण 9

हल समेकित करें.

$x = - \frac{1}{2}, - 3, 2$

चरण 10

$- \frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$(x + 3) (x - 2) = 0$

चरण 10.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

चरण 10.2.2

$x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.1

$x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 3 = 0$

चरण 10.2.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$x = - 3$

चरण 10.2.3

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.1

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 2 = 0$

चरण 10.2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$x = 2$

चरण 10.2.4

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(x + 3) (x - 2) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = - 3, 2$

चरण 10.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 2) \cup (2, \infty)$

चरण 11

परीक्षण अंतराल बनाने के लिए प्रत्येक मूल का प्रयोग करें.

$x < - 3$

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 2$

$x > 2$

चरण 12

प्रत्येक अंतराल से एक परीक्षण मान चुनें और यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से अंतराल असमानता को संतुष्ट करते हैं, इस मान को मूल असमानता में प्लग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

अंतराल $x < - 3$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

अंतराल $x < - 3$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 6$

चरण 12.1.2

मूल असमानता में $x$ को $- 6$ से बदलें.

$\frac{(- 6) + 2}{(- 6) + 3} < \frac{(- 6) - 1}{(- 6) - 2}$

चरण 12.1.3

बाईं ओर $1.\overline{3}$ दाईं ओर $0.875$ से कम नहीं है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

False

चरण 12.2

अंतराल $- 3 < x < - \frac{1}{2}$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

अंतराल $- 3 < x < - \frac{1}{2}$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 2$

चरण 12.2.2

मूल असमानता में $x$ को $- 2$ से बदलें.

$\frac{(- 2) + 2}{(- 2) + 3} < \frac{(- 2) - 1}{(- 2) - 2}$

चरण 12.2.3

बाईं ओर $0$ दाईं ओर $0.75$ से छोटा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

True

चरण 12.3

अंतराल $- \frac{1}{2} < x < 2$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

अंतराल $- \frac{1}{2} < x < 2$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 0$

चरण 12.3.2

मूल असमानता में $x$ को $0$ से बदलें.

$\frac{(0) + 2}{(0) + 3} < \frac{(0) - 1}{(0) - 2}$

चरण 12.3.3

बाईं ओर $0.\overline{6}$ दाईं ओर $0.5$ से कम नहीं है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

False

चरण 12.4

अंतराल $x > 2$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.4.1

अंतराल $x > 2$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 4$

चरण 12.4.2

मूल असमानता में $x$ को $4$ से बदलें.

$\frac{(4) + 2}{(4) + 3} < \frac{(4) - 1}{(4) - 2}$

चरण 12.4.3

बाईं ओर $0.\overline{857142}$ दाईं ओर $1.5$ से छोटा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

True

चरण 12.5

यह निर्धारित करने के लिए अंतराल की तुलना करें कि कौन से तत्व मूल असमानता को संतुष्ट करते हैं.

$x < - 3$ गलत

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ सही

$- \frac{1}{2} < x < 2$ गलत

$x > 2$ सही

$x < - 3$ गलत

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ सही

$- \frac{1}{2} < x < 2$ गलत

$x > 2$ सही

चरण 13

हल में सभी सच्चे अंतराल होते हैं.

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ या $x > 2$

चरण 14

असमानता को अंतराल संकेतन में बदलें.

$(- 3, - \frac{1}{2}) \cup (2, \infty)$

चरण 15