प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$

चरण 1

$f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ को एक समीकरण के रूप में लिखें.

$y = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$

चरण 2

चर को एकदूसरे के साथ बदलें.

$x = \frac{4^{y}}{1 + 4^{y}}$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण को $\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} = x$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} = x$

चरण 3.2

दोनों पक्षों को $1 + 4^{y}$ से गुणा करें.

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} (1 + 4^{y}) = x (1 + 4^{y})$

चरण 3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

$1 + 4^{y}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4^{y}}{1 + 4^{y}} (1 + 4^{y}) = x (1 + 4^{y})$

चरण 3.3.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$4^{y} = x (1 + 4^{y})$

चरण 3.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$x (1 + 4^{y})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4^{y} = x \cdot 1 + x \cdot 4^{y}$

चरण 3.3.2.1.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.2.1

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$4^{y} = x + x \cdot 4^{y}$

चरण 3.3.2.1.2.2

$x$ और $4^{y}$ को पुन: क्रमित करें.

$4^{y} = x + 4^{y} \cdot x$

चरण 3.4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

गुणनखंडों को $x + 4^{y} x$ में पुन: क्रमित करें.

$4^{y} = x + x \cdot 4^{y}$

चरण 3.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $x \cdot 4^{y}$ घटाएं.

$4^{y} - x \cdot 4^{y} = x$

चरण 3.4.3

$4^{y} - x \cdot 4^{y}$ में से $4^{y}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1

$1$ से गुणा करें.

$4^{y} \cdot 1 - x \cdot 4^{y} = x$

चरण 3.4.3.2

$- x \cdot 4^{y}$ में से $4^{y}$ का गुणनखंड करें.

$4^{y} \cdot 1 + 4^{y} \cdot (- x) = x$

चरण 3.4.3.3

$4^{y} \cdot 1 + 4^{y} \cdot (- x)$ में से $4^{y}$ का गुणनखंड करें.

$4^{y} (1 - x) = x$

चरण 3.4.4

$4^{y} (1 - x) = x$ के प्रत्येक पद को $1 - x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.1

$4^{y} (1 - x) = x$ के प्रत्येक पद को $1 - x$ से विभाजित करें.

$\frac{4^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x}$

चरण 3.4.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.2.1

$1 - x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4^{y} (1 - x)}{1 - x} = \frac{x}{1 - x}$

चरण 3.4.4.2.1.2

$4^{y}$ को $1$ से विभाजित करें.

$4^{y} = \frac{x}{1 - x}$

चरण 3.4.5

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (4^{y}) = \ln (\frac{x}{1 - x})$

चरण 3.4.6

$y$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (4^{y})$ का प्रसार करें.

$y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$

चरण 3.4.7

$y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$ के प्रत्येक पद को $\ln (4)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.7.1

$y \ln (4) = \ln (\frac{x}{1 - x})$ के प्रत्येक पद को $\ln (4)$ से विभाजित करें.

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

चरण 3.4.7.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.7.2.1

$\ln (4)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.7.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y \ln (4)}{\ln (4)} = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

चरण 3.4.7.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

चरण 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$

चरण 5

सत्यापित करें कि क्या $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$ , $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ का व्युत्क्रम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्युत्क्रम सत्यापित करने के लिए, जांचें कि क्या $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

चरण 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f^{- 1} (f (x))$

चरण 5.2.2

$f^{- 1}$ में $f$ का मान प्रतिस्थापित करके $f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}})$ का मान ज्ञात करें.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{1 - (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}})})}{\ln (4)}$

चरण 5.2.3

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 4^{x}}{1 + 4^{x}} - \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

चरण 5.2.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 4^{x} - 4^{x}}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

चरण 5.2.3.3

$\frac{1 + 4^{x} - 4^{x}}{1 + 4^{x}}$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.3.1

$4^{x}$ में से $4^{x}$ घटाएं.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1 + 0}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

चरण 5.2.3.3.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}}{\frac{1}{1 + 4^{x}}})}{\ln (4)}$

चरण 5.2.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}} \cdot (1 + 4^{x}))}{\ln (4)}$

चरण 5.2.4.2

$1 + 4^{x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}} \cdot (1 + 4^{x}))}{\ln (4)}$

चरण 5.2.4.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{\ln (4^{x})}{\ln (4)}$

चरण 5.2.5

$x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (4^{x})$ का प्रसार करें.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

चरण 5.2.6

$\ln (4)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = \frac{x \ln (4)}{\ln (4)}$

चरण 5.2.6.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$f^{- 1} (\frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}) = x$

चरण 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f (f^{- 1} (x))$

चरण 5.3.2

$f$ में $f^{- 1}$ का मान प्रतिस्थापित करके $f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)})$ का मान ज्ञात करें.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

चरण 5.3.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

आधार नियम $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ के परिवर्तन का प्रयोग करें.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{4^{\log_{4} (\frac{x}{1 - x})}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

चरण 5.3.3.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + 4^{\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}}}$

चरण 5.3.4

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

आधार नियम $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ के परिवर्तन का प्रयोग करें.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + 4^{\log_{4} (\frac{x}{1 - x})}}$

चरण 5.3.4.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{1 + \frac{x}{1 - x}}$

चरण 5.3.4.3

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 - x}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}}$

चरण 5.3.4.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 - x + x}{1 - x}}$

चरण 5.3.4.5

$\frac{1 - x + x}{1 - x}$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.5.1

$- x$ और $x$ जोड़ें.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1 + 0}{1 - x}}$

चरण 5.3.4.5.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{\frac{x}{1 - x}}{\frac{1}{1 - x}}$

चरण 5.3.5

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

चरण 5.3.6

$1 - x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

चरण 5.3.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}) = x$

चरण 5.4

चूँकि $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ , तो $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$ , $f (x) = \frac{4^{x}}{1 + 4^{x}}$ का व्युत्क्रम है.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{1 - x})}{\ln (4)}$