प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{3}{x^{3}}$

चरण 1

अंतर भागफल सूत्र पर विचार करें.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

चरण 2

परिभाषा के घटक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x = x + h$ पर फलन का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $x + h$ से बदलें.

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

चरण 2.1.2

अंतिम उत्तर $\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$ है.

$\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

चरण 2.2

परिभाषा के घटक पता करें.

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

$f (x) = \frac{3}{x^{3}}$

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

$f (x) = \frac{3}{x^{3}}$

चरण 3

घटकों में प्लग करें.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{3}{{(x + h)}^{3}} - (\frac{3}{x^{3}})}{h}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{3}{{(x + h)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{3}{x^{3}}}{h}$

चरण 4.1.2

$- \frac{3}{x^{3}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{3}{{(x + h)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{3}{x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}}{h}$

चरण 4.1.3

प्रत्येक व्यंजक को ${(x + h)}^{3} x^{3}$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

$\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$ को $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{3 x^{3}}{{(x + h)}^{3} x^{3}} - \frac{3}{x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}}{h}$

चरण 4.1.3.2

$\frac{3}{x^{3}}$ को $\frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{3 x^{3}}{{(x + h)}^{3} x^{3}} - \frac{3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

चरण 4.1.3.3

${(x + h)}^{3} x^{3}$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\frac{\frac{3 x^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}} - \frac{3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

चरण 4.1.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{3 x^{3} - 3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

चरण 4.1.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.5.1

$3 x^{3} - 3 {(x + h)}^{3}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.5.1.1

$3 x^{3}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{3 (x^{3}) - 3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

चरण 4.1.5.1.2

$- 3 {(x + h)}^{3}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{3 (x^{3}) + 3 (- {(x + h)}^{3})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

चरण 4.1.5.1.3

$3 (x^{3}) + 3 (- {(x + h)}^{3})$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{3 (x^{3} - {(x + h)}^{3})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

चरण 4.1.5.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण घन हैं, घन सूत्र के अंतर का उपयोग करने वाले गुणनखंड $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ जहाँ $a = x$ और $b = x + h$ हैं.

$\frac{\frac{3 ((x - (x + h)) (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

चरण 4.1.5.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.5.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\frac{3 ((x - x - h) (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

चरण 4.1.5.3.2

$x$ में से $x$ घटाएं.

$\frac{\frac{3 ((0 - h) (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

चरण 4.1.5.3.3

$0$ में से $h$ घटाएं.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

चरण 4.1.5.3.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x \cdot x + x h + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

चरण 4.1.5.3.5

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

चरण 4.1.5.3.6

${(x + h)}^{2}$ को $(x + h) (x + h)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + (x + h) (x + h)))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

चरण 4.1.5.3.7

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + h) (x + h)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.5.3.7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x (h) + x (x + h) + h (x + h)))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

चरण 4.1.5.3.7.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x (h) + x \cdot x + x (h) + h (x + h)))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

चरण 4.1.5.3.7.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

चरण 4.1.5.3.8

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.5.3.8.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.5.3.8.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + x h + h x + h \cdot h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

चरण 4.1.5.3.8.1.2

$h$ को $h$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + x h + h x + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

चरण 4.1.5.3.8.2

$x h$ और $h x$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.5.3.8.2.1

$h$ और $x$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + x h + x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

चरण 4.1.5.3.8.2.2

$x h$ और $x h$ जोड़ें.

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + 2 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

चरण 4.1.5.3.9

$x^{2}$ और $x^{2}$ जोड़ें.

$\frac{\frac{3 (- h (2 x^{2} + x h + x^{2} + 2 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

चरण 4.1.5.3.10

$2 x^{2}$ और $x^{2}$ जोड़ें.

$\frac{\frac{3 (- h (3 x^{2} + x h + 2 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

चरण 4.1.5.3.11

$x h$ और $2 x h$ जोड़ें.

$\frac{\frac{3 (- h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

$\frac{\frac{3 \cdot - 1 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

चरण 4.1.5.4

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.5.4.1

गुणनखंड ऋणात्मक प्राप्त हुआ.

$\frac{\frac{- (3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

चरण 4.1.5.4.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{- 3 (h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

$\frac{\frac{- 3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

चरण 4.1.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{- \frac{3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

चरण 4.2

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$- \frac{3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

चरण 4.3

$h$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$- \frac{3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{- 3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

चरण 4.3.2

$- 3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$\frac{h (- 3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

चरण 4.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{h (- 3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

चरण 4.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}$

चरण 4.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}$

चरण 5