प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{- 1}{x^{2} - 36}$

चरण 1

अंतर भागफल सूत्र पर विचार करें.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

चरण 2

परिभाषा के घटक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x = x + h$ पर फलन का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $x + h$ से बदलें.

$f (x + h) = \frac{- 1}{{(x + h)}^{2} - 36}$

चरण 2.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.1

$36$ को $6^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (x + h) = \frac{- 1}{{(x + h)}^{2} - 6^{2}}$

चरण 2.1.2.1.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x + h$ और $b = 6$ .

$f (x + h) = \frac{- 1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

चरण 2.1.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (x + h) = - \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

चरण 2.1.2.3

अंतिम उत्तर $- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ है.

$- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

चरण 2.2

परिभाषा के घटक पता करें.

$f (x + h) = - \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

$f (x) = - \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$

$f (x + h) = - \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

$f (x) = - \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$

चरण 3

घटकों में प्लग करें.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} - (- \frac{1}{(x + 6) (x - 6)})}{h}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$- - \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} + 1 \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}}{h}$

चरण 4.1.1.2

$\frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}}{h}$

चरण 4.1.2

$- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)}$ से गुणा करें.

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}}{h}$

चरण 4.1.3

$\frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ से गुणा करें.

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)} \cdot \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}}{h}$

चरण 4.1.4

प्रत्येक व्यंजक को $(x + h + 6) (x + h - 6) (x + 6) (x - 6)$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.1

$\frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ को $\frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)}$ से गुणा करें.

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6) ((x + 6) (x - 6))} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)} \cdot \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}}{h}$

चरण 4.1.4.2

$\frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ को $\frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ से गुणा करें.

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6) ((x + 6) (x - 6))} + \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x - 6) ((x + h + 6) (x + h - 6))}}{h}$

चरण 4.1.4.3

$(x + h + 6) (x + h - 6) ((x + 6) (x - 6))$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} + \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x - 6) ((x + h + 6) (x + h - 6))}}{h}$

चरण 4.1.4.4

$(x + 6) (x - 6) ((x + h + 6) (x + h - 6))$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} + \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

चरण 4.1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{- (x + 6) (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

चरण 4.1.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\frac{(- x - 1 \cdot 6) (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

चरण 4.1.6.2

$- 1$ को $6$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{(- x - 6) (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

चरण 4.1.6.3

FOIL विधि का उपयोग करके $(- x - 6) (x - 6)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.6.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\frac{- x (x - 6) - 6 (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

चरण 4.1.6.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\frac{- x \cdot x - x \cdot - 6 - 6 (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

चरण 4.1.6.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\frac{- x \cdot x - x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

चरण 4.1.6.4

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.6.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.6.4.1.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.6.4.1.1.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{\frac{- (x \cdot x) - x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

चरण 4.1.6.4.1.1.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{- x^{2} - x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

चरण 4.1.6.4.1.2

$- 6$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{- x^{2} + 6 x - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

चरण 4.1.6.4.1.3

$- 6$ को $- 6$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{- x^{2} + 6 x - 6 x + 36 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

चरण 4.1.6.4.2

$6 x$ में से $6 x$ घटाएं.

$\frac{\frac{- x^{2} + 0 + 36 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

चरण 4.1.6.4.3

$- x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

चरण 4.1.6.5

प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके $(x + h + 6) (x + h - 6)$ का प्रसार करें.

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + x \cdot - 6 + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 x + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

चरण 4.1.6.6

$x \cdot x + x h + x \cdot - 6 + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 x + 6 h + 6 \cdot - 6$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.6.6.1

गुणनखंडों को $x \cdot - 6$ और $6 x$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h - 6 x + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 x + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

चरण 4.1.6.6.2

$- 6 x$ और $6 x$ जोड़ें.

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 0 + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

चरण 4.1.6.6.3

$x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + h \cdot - 6$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

चरण 4.1.6.6.4

गुणनखंडों को $h \cdot - 6$ और $6 h$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - 6 h + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

चरण 4.1.6.6.5

$- 6 h$ और $6 h$ जोड़ें.

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 0 + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

चरण 4.1.6.6.6

$x \cdot x + x h + h x + h \cdot h$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

चरण 4.1.6.7

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.6.7.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

चरण 4.1.6.7.2

$h$ को $h$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + h x + h^{2} + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

चरण 4.1.6.7.3

$6$ को $- 6$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + h x + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

चरण 4.1.6.8

$x h$ और $h x$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.6.8.1

$h$ और $x$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

चरण 4.1.6.8.2

$x h$ और $x h$ जोड़ें.

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + 2 x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

चरण 4.1.6.9

$- x^{2}$ और $x^{2}$ जोड़ें.

$\frac{\frac{0 + 36 + 2 x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

चरण 4.1.6.10

$0$ और $36$ जोड़ें.

$\frac{\frac{36 + 2 x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

चरण 4.1.6.11

$36$ में से $36$ घटाएं.

$\frac{\frac{2 x h + h^{2} + 0}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

चरण 4.1.6.12

$2 x h + h^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\frac{2 x h + h^{2}}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

चरण 4.1.6.13

$2 x h + h^{2}$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.6.13.1

$2 x h$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{h (2 x) + h^{2}}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

चरण 4.1.6.13.2

$h^{2}$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{h (2 x) + h (h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

चरण 4.1.6.13.3

$h (2 x) + h (h)$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{h (2 x + h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

चरण 4.2

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{h (2 x + h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} \cdot \frac{1}{h}$

चरण 4.3

$h$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{h (2 x + h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} \cdot \frac{1}{h}$

चरण 4.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 x + h}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}$

चरण 5