प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{2} + 2 x - 1$ ;, $[- 3, - \frac{5}{2}]$

चरण 1

$f (x) = x^{2} + 2 x - 1$ को एक समीकरण के रूप में लिखें.

$y = x^{2} + 2 x - 1$

चरण 2

परिवर्तन की औसत दर सूत्र का उपयोग करके प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

किसी फलन के परिवर्तन की औसत दर दो बिंदुओं के $x$ मानों में परिवर्तन से विभाजित दो बिंदुओं के $y$ मानों में परिवर्तन की गणना करके ज्ञात की जा सकती है.

$\frac{f (- \frac{5}{2}) - f (- 3)}{(- \frac{5}{2}) - (- 3)}$

चरण 2.2

$f (- \frac{5}{2})$ और $f (- 3)$ के लिए समीकरण $y = x^{2} + 2 x - 1$ को प्रतिस्थापित करें, फलन में $x$ को संबंधित $x$ मान से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{({(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (- \frac{5}{2}) - 1) - ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1)}{(- \frac{5}{2}) - (- 3)}$

चरण 3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

भिन्न के न्यूमेरेटर और भाजक को $2$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$\frac{{(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (- \frac{5}{2}) - 1 - ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1)}{- \frac{5}{2} - (- 3)}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{2} \cdot \frac{{(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (- \frac{5}{2}) - 1 - ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1)}{- \frac{5}{2} - (- 3)}$

चरण 3.1.2

जोड़ना.

$\frac{2 ({(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (- \frac{5}{2}) - 1 - ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{2 (- \frac{5}{2} - (- 3))}$

चरण 3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (2 (- \frac{5}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{2 (- \frac{5}{2}) + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$- \frac{5}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{2 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (2 (- \frac{5}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{2 (\frac{- 5}{2}) + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (2 (- \frac{5}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{2 (\frac{- 5}{2}) + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (2 (- \frac{5}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1

उत्पाद नियम को $- \frac{5}{2}$ पर लागू करें.

$\frac{2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{5}{2}$ पर लागू करें.

$\frac{2 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.2

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 (1 \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.3

$\frac{5^{2}}{2^{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.1

$2^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \frac{5^{2}}{2 \cdot 2} + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \frac{5^{2}}{2 \cdot 2} + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\frac{5^{2}}{2} + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.5

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\frac{25}{2} + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.6

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{25}{2} + 4 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.7

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.7.1

$- \frac{5}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{\frac{25}{2} + 4 (\frac{- 5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.7.2

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{25}{2} + 2 (2) \frac{- 5}{2} + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.7.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{25}{2} + 2 \cdot 2 \frac{- 5}{2} + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.7.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\frac{25}{2} + 2 \cdot - 5 + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.8

$2$ को $- 5$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{25}{2} - 10 + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.9

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.10

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.10.1

$- 3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 (- (9 + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.10.2

$2$ को $- 3$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 (- (9 - 6 - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.11

$9$ में से $6$ घटाएं.

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 (- (3 - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.12

$3$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 (- 1 \cdot 2)}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.13

$2 (- 1 \cdot 2)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.13.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 \cdot - 2}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.13.2

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.14

$- 10$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{25}{2} - 10 \cdot \frac{2}{2} - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.15

$- 10$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{25}{2} + \frac{- 10 \cdot 2}{2} - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.16

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{25 - 10 \cdot 2}{2} - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.17

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.17.1

$- 10$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{25 - 20}{2} - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.17.2

$25$ में से $20$ घटाएं.

$\frac{\frac{5}{2} - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.18

$- 2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{5}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.19

$- 2$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{5}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.20

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{5 - 2 \cdot 2}{2} - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.21

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.21.1

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{5 - 4}{2} - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.21.2

$5$ में से $4$ घटाएं.

$\frac{\frac{1}{2} - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.22

$- 4$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{1}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.23

$- 4$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.24

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{1 - 4 \cdot 2}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.25

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.25.1

$- 4$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{1 - 8}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.25.2

$1$ में से $8$ घटाएं.

$\frac{\frac{- 7}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.4.26

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{- \frac{7}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

चरण 3.5

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$2 (- (- 3))$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1.1

$- 1$ को $- 3$ से गुणा करें.

$\frac{- \frac{7}{2}}{- 5 + 2 \cdot 3}$

चरण 3.5.1.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{- \frac{7}{2}}{- 5 + 6}$

चरण 3.5.2

$- 5$ और $6$ जोड़ें.

$\frac{- \frac{7}{2}}{1}$

चरण 3.6

$- \frac{7}{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \frac{7}{2}$