प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = - x^{3} + 6 x^{2} + x$

चरण 1

अंतर भागफल सूत्र पर विचार करें.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

चरण 2

परिभाषा के घटक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x = x + h$ पर फलन का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $x + h$ से बदलें.

$f (x + h) = - {(x + h)}^{3} + 6 {(x + h)}^{2} + x + h$

चरण 2.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$f (x + h) = - {(x + h)}^{3} + 6 {(x + h)}^{2} + x + h$

चरण 2.1.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करें.

$f (x + h) = - (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + 6 {(x + h)}^{2} + x + h$

चरण 2.1.2.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x + h) = - x^{3} - (3 x^{2} h) - (3 x h^{2}) - h^{3} + 6 {(x + h)}^{2} + x + h$

चरण 2.1.2.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.3.1

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (x + h) = - x^{3} - 3 (x^{2} h) - (3 x h^{2}) - h^{3} + 6 {(x + h)}^{2} + x + h$

चरण 2.1.2.2.3.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (x + h) = - x^{3} - 3 (x^{2} h) - 3 (x h^{2}) - h^{3} + 6 {(x + h)}^{2} + x + h$

चरण 2.1.2.2.4

कोष्ठक हटा दें.

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 6 {(x + h)}^{2} + x + h$

चरण 2.1.2.2.5

${(x + h)}^{2}$ को $(x + h) (x + h)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 6 ((x + h) (x + h)) + x + h$

चरण 2.1.2.2.6

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + h) (x + h)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 6 (x (x + h) + h (x + h)) + x + h$

चरण 2.1.2.2.6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 6 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + x + h$

चरण 2.1.2.2.6.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 6 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + x + h$

चरण 2.1.2.2.7

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.7.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.7.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 6 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + x + h$

चरण 2.1.2.2.7.1.2

$h$ को $h$ से गुणा करें.

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 6 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + x + h$

चरण 2.1.2.2.7.2

$x h$ और $h x$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.7.2.1

$x$ और $h$ को पुन: क्रमित करें.

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 6 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + x + h$

चरण 2.1.2.2.7.2.2

$h x$ और $h x$ जोड़ें.

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 6 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h$

चरण 2.1.2.2.8

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 6 x^{2} + 6 (2 h x) + 6 h^{2} + x + h$

चरण 2.1.2.2.9

$2$ को $6$ से गुणा करें.

$f (x + h) = - x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 6 x^{2} + 12 h x + 6 h^{2} + x + h$

चरण 2.1.2.3

अंतिम उत्तर $- x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 6 x^{2} + 12 h x + 6 h^{2} + x + h$ है.

$- x^{3} - 3 x^{2} h - 3 x h^{2} - h^{3} + 6 x^{2} + 12 h x + 6 h^{2} + x + h$

चरण 2.2

पुन: व्यवस्थित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$- x^{3} - 3 h x^{2} - 3 x h^{2} - h^{3} + 6 x^{2} + 12 h x + 6 h^{2} + x + h$

चरण 2.2.2

$x$ ले जाएं.

$- x^{3} - 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} + 6 x^{2} + 12 h x + 6 h^{2} + x + h$

चरण 2.2.3

$x$ ले जाएं.

$- x^{3} - 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} + 6 x^{2} + 12 h x + 6 h^{2} + h + x$

चरण 2.2.4

$6 x^{2}$ ले जाएं.

$- x^{3} - 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} + 12 h x + 6 h^{2} + 6 x^{2} + h + x$

चरण 2.2.5

$12 h x$ ले जाएं.

$- x^{3} - 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} + 6 h^{2} + 12 h x + 6 x^{2} + h + x$

चरण 2.2.6

$- x^{3}$ ले जाएं.

$- 3 h x^{2} - 3 h^{2} x - h^{3} - x^{3} + 6 h^{2} + 12 h x + 6 x^{2} + h + x$

चरण 2.2.7

$- 3 h x^{2}$ ले जाएं.

$- 3 h^{2} x - h^{3} - 3 h x^{2} - x^{3} + 6 h^{2} + 12 h x + 6 x^{2} + h + x$

चरण 2.2.8

$- 3 h^{2} x$ और $- h^{3}$ को पुन: क्रमित करें.

$- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 6 h^{2} + 12 h x + 6 x^{2} + h + x$

चरण 2.3

परिभाषा के घटक पता करें.

$f (x + h) = - h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 6 h^{2} + 12 h x + 6 x^{2} + h + x$

$f (x) = - x^{3} + 6 x^{2} + x$

$f (x + h) = - h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 6 h^{2} + 12 h x + 6 x^{2} + h + x$

$f (x) = - x^{3} + 6 x^{2} + x$

चरण 3

घटकों में प्लग करें.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 6 h^{2} + 12 h x + 6 x^{2} + h + x - (- x^{3} + 6 x^{2} + x)}{h}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 6 h^{2} + 12 h x + 6 x^{2} + h + x - - x^{3} - (6 x^{2}) - x}{h}$

चरण 4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$- - x^{3}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 6 h^{2} + 12 h x + 6 x^{2} + h + x + 1 x^{3} - (6 x^{2}) - x}{h}$

चरण 4.1.2.1.2

$x^{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 6 h^{2} + 12 h x + 6 x^{2} + h + x + x^{3} - (6 x^{2}) - x}{h}$

चरण 4.1.2.2

$6$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} - x^{3} + 6 h^{2} + 12 h x + 6 x^{2} + h + x + x^{3} - 6 x^{2} - x}{h}$

चरण 4.1.3

$- x^{3}$ और $x^{3}$ जोड़ें.

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 6 h^{2} + 12 h x + 6 x^{2} + h + x + 0 - 6 x^{2} - x}{h}$

चरण 4.1.4

$- h^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 6 h^{2} + 12 h x + 6 x^{2} + h + x - 6 x^{2} - x}{h}$

चरण 4.1.5

$6 x^{2}$ में से $6 x^{2}$ घटाएं.

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 6 h^{2} + 12 h x + h + x + 0 - x}{h}$

चरण 4.1.6

$- h^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 6 h^{2} + 12 h x + h + x - x}{h}$

चरण 4.1.7

$x$ में से $x$ घटाएं.

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 6 h^{2} + 12 h x + h + 0}{h}$

चरण 4.1.8

$- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 6 h^{2} + 12 h x + h$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 6 h^{2} + 12 h x + h}{h}$

चरण 4.1.9

$- h^{3} - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 6 h^{2} + 12 h x + h$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.9.1

$- h^{3}$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$\frac{h (- h^{2}) - 3 h^{2} x - 3 h x^{2} + 6 h^{2} + 12 h x + h}{h}$

चरण 4.1.9.2

$- 3 h^{2} x$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) - 3 h x^{2} + 6 h^{2} + 12 h x + h}{h}$

चरण 4.1.9.3

$- 3 h x^{2}$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + 6 h^{2} + 12 h x + h}{h}$

चरण 4.1.9.4

$6 h^{2}$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + h (6 h) + 12 h x + h}{h}$

चरण 4.1.9.5

$12 h x$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + h (6 h) + h (12 x) + h}{h}$

चरण 4.1.9.6

$h$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + h (6 h) + h (12 x) + h^{1}}{h}$

चरण 4.1.9.7

$h^{1}$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$\frac{h (- h^{2}) + h (- 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + h (6 h) + h (12 x) + h \cdot 1}{h}$

चरण 4.1.9.8

$h (- h^{2}) + h (- 3 h x)$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x) + h (- 3 x^{2}) + h (6 h) + h (12 x) + h \cdot 1}{h}$

चरण 4.1.9.9

$h (- h^{2} - 3 h x) + h (- 3 x^{2})$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2}) + h (6 h) + h (12 x) + h \cdot 1}{h}$

चरण 4.1.9.10

$h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2}) + h (6 h)$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 6 h) + h (12 x) + h \cdot 1}{h}$

चरण 4.1.9.11

$h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 6 h) + h (12 x)$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 6 h + 12 x) + h \cdot 1}{h}$

चरण 4.1.9.12

$h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 6 h + 12 x) + h \cdot 1$ में से $h$ का गुणनखंड करें.

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 6 h + 12 x + 1)}{h}$

चरण 4.2

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$h$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 6 h + 12 x + 1)}{h}$

चरण 4.2.1.2

$- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 6 h + 12 x + 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 6 h + 12 x + 1$

चरण 4.2.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$h$ ले जाएं.

$- h^{2} - 3 x h - 3 x^{2} + 6 h + 12 x + 1$

चरण 4.2.2.2

$6 h$ ले जाएं.

$- h^{2} - 3 x h - 3 x^{2} + 12 x + 6 h + 1$

चरण 4.2.2.3

$- h^{2}$ ले जाएं.

$- 3 x h - 3 x^{2} - h^{2} + 12 x + 6 h + 1$

चरण 4.2.2.4

$- 3 x h$ और $- 3 x^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$- 3 x^{2} - 3 x h - h^{2} + 12 x + 6 h + 1$

चरण 5