प्री-कैलकुलस उदाहरण

$- 12 - 4 - \frac{4}{3} - \dots - \frac{4}{243}$

चरण 1

यह एक ज्यामितीय अनुक्रम है क्योंकि प्रत्येक पद के बीच एक सामान्य अनुपात होता है. इस स्थिति में, अनुक्रम में पिछले पद को $\frac{1}{3}$ से गुणा करने पर अगला पद प्राप्त होता है. दूसरे शब्दों में, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

ज्यामितीय अनुक्रम: $r = \frac{1}{3}$

चरण 2

ज्यामितीय अनुक्रम $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ के लिए सूत्र का उपयोग करके पदों की संख्या, $n$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

सूत्र में पहले पद, अंतिम पद और पदों के बीच के अनुपात के मानों को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{4}{243} = 12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

चरण 2.2

$n$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

समीकरण को $12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ के रूप में फिर से लिखें.

$12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$

चरण 2.2.2

$12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ के प्रत्येक पद को $12$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{4}{243}$ के प्रत्येक पद को $12$ से विभाजित करें.

$\frac{12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}{12} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

चरण 2.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.2.1

$12$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{12 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}{12} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

चरण 2.2.2.2.1.2

${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ को $1$ से विभाजित करें.

${(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

चरण 2.2.2.2.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.2.2.1

उत्पाद नियम को $\frac{1}{3}$ पर लागू करें.

$\frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

चरण 2.2.2.2.2.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{\frac{4}{243}}{12}$

चरण 2.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.3.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{12}$

चरण 2.2.2.3.2

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.3.2.1

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{4 (3)}$

चरण 2.2.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{4}{243} \cdot \frac{1}{4 \cdot 3}$

चरण 2.2.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{243} \cdot \frac{1}{3}$

चरण 2.2.2.3.3

$\frac{1}{243}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{243 \cdot 3}$

चरण 2.2.2.3.4

$243$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{729}$

चरण 2.2.3

दोनों पक्षों को $3^{n - 1}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

चरण 2.2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1.1

$3^{n - 1}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

चरण 2.2.4.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 = \frac{1}{729} \cdot 3^{n - 1}$

चरण 2.2.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.2.1

$\frac{1}{729}$ और $3^{n - 1}$ को मिलाएं.

$1 = \frac{3^{n - 1}}{729}$

चरण 2.2.5

$n$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.1

समीकरण को $\frac{3^{n - 1}}{729} = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{3^{n - 1}}{729} = 1$

चरण 2.2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों को $729$ से गुणा करें.

$729 \frac{3^{n - 1}}{729} = 729 \cdot 1$

चरण 2.2.5.3

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.3.1.1

$729$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$729 \frac{3^{n - 1}}{729} = 729 \cdot 1$

चरण 2.2.5.3.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$3^{n - 1} = 729 \cdot 1$

चरण 2.2.5.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.3.2.1

$729$ को $1$ से गुणा करें.

$3^{n - 1} = 729$

चरण 2.2.5.4

समीकरण में ऐसे तुल्यांकी व्यंजक बनाएंँ जिनका आधार समान हो.

$3^{n - 1} = 3^{6}$

चरण 2.2.5.5

चूंकि आधार समान हैं, तो दो व्यंजक केवल तभी बराबर होते हैं जब घातांक भी बराबर हों.

$n - 1 = 6$

चरण 2.2.5.6

$n$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.5.6.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$n = 6 + 1$

चरण 2.2.5.6.2

$6$ और $1$ जोड़ें.

$n = 7$

चरण 3

एक ज्यामितीय अनुक्रम $S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$ के योग का योग ज्ञात करने के लिए के लिए सूत्र का प्रयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग सूत्र में पहले पद, अनुपात और पदों की संख्या के मान प्रतिस्थापित करें.

$S_{n} = \frac{- 12 ({(\frac{1}{3})}^{7} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

चरण 3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{1}{3}$ पर लागू करें.

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1^{7}}{3^{7}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

चरण 3.2.1.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{3^{7}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

चरण 3.2.1.3

$3$ को $7$ के घात तक बढ़ाएं.

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

चरण 3.2.1.4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2187}{2187}$ से गुणा करें.

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} - 1 \cdot \frac{2187}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

चरण 3.2.1.5

$- 1$ और $\frac{2187}{2187}$ को मिलाएं.

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{1}{2187} + \frac{- 1 \cdot 2187}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

चरण 3.2.1.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$S_{n} = \frac{- 12 \frac{1 - 1 \cdot 2187}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

चरण 3.2.1.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.7.1

$- 1$ को $2187$ से गुणा करें.

$S_{n} = \frac{- 12 \frac{1 - 2187}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

चरण 3.2.1.7.2

$1$ में से $2187$ घटाएं.

$S_{n} = \frac{- 12 (\frac{- 2186}{2187})}{\frac{1}{3} - 1}$

चरण 3.2.1.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$S_{n} = \frac{- 12 \cdot - 1 \frac{2186}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

चरण 3.2.1.9

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.9.1

गुणनखंड ऋणात्मक प्राप्त हुआ.

$S_{n} = \frac{- (- 12 (\frac{2186}{2187}))}{\frac{1}{3} - 1}$

चरण 3.2.1.9.2

$- 12$ और $\frac{2186}{2187}$ को मिलाएं.

$S_{n} = \frac{- \frac{- 12 \cdot 2186}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

चरण 3.2.1.9.3

$- 12$ को $2186$ से गुणा करें.

$S_{n} = \frac{- \frac{- 26232}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

चरण 3.2.1.10

$- 26232$ और $2187$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.10.1

$- 26232$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$S_{n} = \frac{- \frac{3 (- 8744)}{2187}}{\frac{1}{3} - 1}$

चरण 3.2.1.10.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.10.2.1

$2187$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$S_{n} = \frac{- \frac{3 \cdot - 8744}{3 \cdot 729}}{\frac{1}{3} - 1}$

चरण 3.2.1.10.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$S_{n} = \frac{- \frac{3 \cdot - 8744}{3 \cdot 729}}{\frac{1}{3} - 1}$

चरण 3.2.1.10.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$S_{n} = \frac{- \frac{- 8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

चरण 3.2.1.11

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$S_{n} = \frac{- - 1 \frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

चरण 3.2.1.12

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.12.1

गुणनखंड ऋणात्मक प्राप्त हुआ.

$S_{n} = \frac{- - \frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

चरण 3.2.1.12.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$S_{n} = \frac{1 (\frac{8744}{729})}{\frac{1}{3} - 1}$

चरण 3.2.1.12.3

$\frac{8744}{729}$ को $1$ से गुणा करें.

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1}$

चरण 3.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

चरण 3.2.2.2

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

चरण 3.2.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

चरण 3.2.2.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.4.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{1 - 3}{3}}$

चरण 3.2.2.4.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{\frac{- 2}{3}}$

चरण 3.2.2.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$S_{n} = \frac{\frac{8744}{729}}{- \frac{2}{3}}$

चरण 3.2.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$S_{n} = \frac{8744}{729} (- \frac{3}{2})$

चरण 3.2.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1

$- \frac{3}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$S_{n} = \frac{8744}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

चरण 3.2.4.2

$8744$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$S_{n} = \frac{2 (4372)}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

चरण 3.2.4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$S_{n} = \frac{2 \cdot 4372}{729} \cdot \frac{- 3}{2}$

चरण 3.2.4.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$S_{n} = \frac{4372}{729} \cdot - 3$

चरण 3.2.5

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.1

$729$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$S_{n} = \frac{4372}{3 (243)} \cdot - 3$

चरण 3.2.5.2

$- 3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$S_{n} = \frac{4372}{3 \cdot 243} \cdot (3 \cdot - 1)$

चरण 3.2.5.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$S_{n} = \frac{4372}{3 \cdot 243} \cdot (3 \cdot - 1)$

चरण 3.2.5.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$S_{n} = \frac{4372}{243} \cdot - 1$

चरण 3.2.6

$\frac{4372}{243}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$S_{n} = \frac{4372 \cdot - 1}{243}$

चरण 3.2.7

$4372$ को $- 1$ से गुणा करें.

$S_{n} = \frac{- 4372}{243}$

चरण 3.2.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$S_{n} = - \frac{4372}{243}$