प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x^{3} - 5 x}{x^{2} + 1}$

चरण 1

पता करें कि व्यंजक/अभिव्यक्ति $\frac{x^{3} - 5 x}{x^{2} + 1}$ कहाँ अपरिभाषित है.

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 2

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी अनंत असंबद्धता वाले क्षेत्रों में पाए जाते हैं.

कोई ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी नहीं

चरण 3

परिमेय फलन $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ पर विचार करें जहां $n$ न्यूमेरेटर की घात है और $m$ भाजक की घात है.

1. यदि $n < m$ , तो x-अक्ष, $y = 0$ , हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट है.

2. यदि $n = m$ है, तो हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट रेखा $y = \frac{a}{b}$ है.

3. यदि $n > m$ है, तो कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है (एक तिरछी अनंतस्पर्शी है).

चरण 4

$n$ और $m$ पता करें.

$n = 3$

$m = 2$

चरण 5

चूंकि $n > m$ , कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है.

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

चरण 6

बहुपद भाजन का उपयोग करके तिरछी अनंतस्पर्शी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x^{3} - 5 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$x^{3}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot x^{2} - 5 x}{x^{2} + 1}$

चरण 6.1.2

$- 5 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 5}{x^{2} + 1}$

चरण 6.1.3

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 5$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (x^{2} - 5)}{x^{2} + 1}$

चरण 6.2

$x (x^{2} - 5)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 5}{x^{2} + 1}$

चरण 6.2.2

$x$ और $- 5$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{x \cdot x^{2} - 5 x}{x^{2} + 1}$

चरण 6.2.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x \cdot x^{2} - 5 x}{x^{2} + 1}$

चरण 6.2.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{x^{1 + 2} - 5 x}{x^{2} + 1}$

चरण 6.2.5

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{x^{3} - 5 x}{x^{2} + 1}$

चरण 6.3

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$0$

चरण 6.4

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x^{2}$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$0$

चरण 6.5

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

चरण 6.6

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} + 0 + x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

चरण 6.7

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

$6 x$

चरण 6.8

मूल भाज्य से अगले पद को वर्तमान लाभांश में नीचे खींचें.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

$6 x$

$0$

चरण 6.9

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$x + \frac{- 6 x}{x^{2} + 1}$

चरण 6.10

तिरछी अनंतस्पर्शी दीर्घ विभाजन परिणाम का लंबा भाग है.

$y = x$

चरण 7

यह सभी अनंतस्पर्शी का सेट है.

कोई ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी नहीं

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

तिरछी अनंतस्पर्शी: $y = x$

चरण 8