गुणनखण्ड प्रमेय का प्रयोग करके गुणनखण्ड ज्ञात कीजिये x^4+2x^3-8x-16 , x+2

चरण 1

$\frac{x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16}{x + 2}$ को कृत्रिम विभाजन का उपयोग करके विभाजित करें और जांचें कि क्या शेष $0$ के बराबर है. यदि शेष $0$ के बराबर है, तो इसका अर्थ है कि $x + 2$ , $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16$ का एक गुणनखंड है. यदि शेष $0$ के बराबर नहीं है, तो इसका मतलब है कि $x + 2$ , $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16$ का गुणनखंड नहीं है.

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चरण 1.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$

चरण 1.2

भाज्य $(1)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$

	$1$

चरण 1.3

परिणाम $(1)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 2)$ से गुणा करें और $(- 2)$ के परिणाम को भाज्य $(2)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$
	$1$

चरण 1.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$
	$1$	$0$

चरण 1.5

परिणाम $(0)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 2)$ से गुणा करें और $(0)$ के परिणाम को भाज्य $(0)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$
	$1$	$0$

चरण 1.6

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$
	$1$	$0$	$0$

चरण 1.7

परिणाम $(0)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 2)$ से गुणा करें और $(0)$ के परिणाम को भाज्य $(- 8)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$0$

चरण 1.8

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$0$	$- 8$

चरण 1.9

परिणाम $(- 8)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(- 2)$ से गुणा करें और $(16)$ के परिणाम को भाज्य $(- 16)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$	$0$	$16$
	$1$	$0$	$0$	$- 8$

चरण 1.10

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$	$0$	$16$
	$1$	$0$	$0$	$- 8$	$0$

चरण 1.11

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$1 x^{3} + 0 x^{2} + (0) x - 8$

चरण 1.12

भागफल बहुपद को सरल करें.

$x^{3} - 8$

चरण 2

$\frac{x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16}{x + 2}$ को विभाजित करने से शेषफल $0$ है, जिसका अर्थ है कि $x + 2$ , $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16$ का एक गुणनखंड है.

$x + 2$ , $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16$ के लिए एक गुणनखंड है

चरण 3

$x^{3} - 8$ के लिए सभी संभावित मूल पता करें.

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चरण 3.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

चरण 3.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

चरण 4

यह निर्धारित करने के लिए कि क्या $x - 2$ बहुपद $x^{3} - 8$ का एक गुणनखंड है, अगला भाग सेट करें.

$\frac{x^{3} - 8}{x - 2}$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि क्या यह बहुपद का एक गुणनखंड है, कृत्रिम विभाजन का उपयोग करके व्यंजक को विभाजित करें. चूँकि $x - 2$ समान रूप से $x^{3} - 8$ में विभाजित होता है, $x - 2$ बहुपद का एक गुणनखंड है और $x^{2} + 2 x + 4$ का शेष बहुपद है.

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चरण 5.1

भाजक और भाजक को निरूपित करने वाली संख्याओं को एक विभाजन-सदृश विन्यास में रखें.

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$

चरण 5.2

भाज्य $(1)$ में पहली संख्या को परिणाम क्षेत्र (क्षैतिज रेखा के नीचे) की पहली स्थिति में रखा गया है.

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$

	$1$

चरण 5.3

परिणाम $(1)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(2)$ से गुणा करें और $(2)$ के परिणाम को भाज्य $(0)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$
	$1$

चरण 5.4

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$
	$1$	$2$

चरण 5.5

परिणाम $(2)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(2)$ से गुणा करें और $(4)$ के परिणाम को भाज्य $(0)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$	$4$
	$1$	$2$

चरण 5.6

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$	$4$
	$1$	$2$	$4$

चरण 5.7

परिणाम $(4)$ में नवीनतम प्रविष्टि को भाजक $(2)$ से गुणा करें और $(8)$ के परिणाम को भाज्य $(- 8)$ में अगले पद के अंतर्गत जोड़े.

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$	$4$	$8$
	$1$	$2$	$4$

चरण 5.8

गुणन का गुणनफल और लाभांश से संख्या जोड़ें और परिणाम को परिणाम रेखा पर अगली स्थिति में रखें.

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$	$4$	$8$
	$1$	$2$	$4$	$0$

चरण 5.9

अंतिम को छोड़कर सभी संख्याएँ भागफल बहुपद के गुणांक बन जाती हैं. परिणाम रेखा में अंतिम मान शेष है.

$1 x^{2} + 2 x + 4$

चरण 5.10

भागफल बहुपद को सरल करें.

$x^{2} + 2 x + 4$

चरण 6

$x^{2} + 2 x + 4$ के लिए सभी संभावित मूल पता करें.

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चरण 6.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

चरण 6.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

चरण 7

अंतिम गुणनखंड कृत्रिम विभाजन से बचा हुआ एकमात्र गुणनखंड है.

$x^{2} + 2 x + 4$

चरण 8

गुणनखंडित बहुपद $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ है.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$

प्री-कैलकुलस उदाहरण