प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = - 2 x^{3} + 6 x - 2$ , $[- 2, 2]$

चरण 1

यदि $f$ अंतराल $[a, b]$ पर निरंतर है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है, तो अंतराल $(a, b)$ में कम से कम एक वास्तविक संख्या $c$ मौजूद है जैसे कि $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . माध्य मान प्रमेय $x = c$ पर वक्र के स्पर्शरेखा के ढलान और बिंदुओं $(a, f (a))$ और $(b, f (b))$ के माध्यम से रेखा के ढलान के बीच संबंध को व्यक्त करती है.

अगर $f (x)$ $[a, b]$ पर निरन्तर है

और यदि $f (x)$ $(a, b)$ पर अवकलनीय है,

तो $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ में कम से कम एक बिंदु $c$ मौजूद है.

चरण 2

जांचें कि क्या $f (x) = - 2 x^{3} + 6 x - 2$ निरंतर है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 2.2

$f (x)$ $[- 2, 2]$ पर निरंतर है.

फलन निरंतर है.

चरण 3

व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- 2 x^{3} + 6 x - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ है.

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 3.1.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x^{3}$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 3.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$- 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 3.1.2.3

$3$ को $- 2$ से गुणा करें.

$- 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 3.1.3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 x$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 3.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 6 x^{2} + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 3.1.3.3

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$- 6 x^{2} + 6 + \frac{d}{d x} [- 2]$

चरण 3.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 6 x^{2} + 6 + 0$

चरण 3.1.4.2

$- 6 x^{2} + 6$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = - 6 x^{2} + 6$

चरण 3.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- 6 x^{2} + 6$ है.

$- 6 x^{2} + 6$

चरण 4

पता करें कि व्युत्पन्न $(- 2, 2)$ पर सतत है या नहीं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 4.2

$f' (x)$ $(- 2, 2)$ पर निरंतर है.

फलन निरंतर है.

चरण 5

फलन $(- 2, 2)$ पर अलग-अलग है क्योंकि व्युत्पन्न $(- 2, 2)$ पर निरंतर है.

फलन अवकलनीय है.

चरण 6

$f (x)$ माध्य मान प्रमेय के लिए दो शर्तों को पूरा करता है. यह $[- 2, 2]$ पर निरंतर है और $(- 2, 2)$ पर अवकलनीय है.

$f (x)$ , $[- 2, 2]$ पर निरंतर है और $(- 2, 2)$ पर अवकलनीय है.

चरण 7

अंतराल $[- 2, 2]$ से $f (a)$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 2$ से बदलें.

$f (- 2) = - 2 {(- 2)}^{3} + 6 (- 2) - 2$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

घातांक जोड़कर $- 2$ को ${(- 2)}^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1.1

$- 2$ को ${(- 2)}^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1.1.1

$- 2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 2) = (- 2) {(- 2)}^{3} + 6 (- 2) - 2$

चरण 7.2.1.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f (- 2) = {(- 2)}^{1 + 3} + 6 (- 2) - 2$

चरण 7.2.1.1.2

$1$ और $3$ जोड़ें.

$f (- 2) = {(- 2)}^{4} + 6 (- 2) - 2$

चरण 7.2.1.2

$- 2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (- 2) = 16 + 6 (- 2) - 2$

चरण 7.2.1.3

$6$ को $- 2$ से गुणा करें.

$f (- 2) = 16 - 12 - 2$

चरण 7.2.2

संख्याओं को घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$16$ में से $12$ घटाएं.

$f (- 2) = 4 - 2$

चरण 7.2.2.2

$4$ में से $2$ घटाएं.

$f (- 2) = 2$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $2$ है.

$2$

चरण 8

अंतराल $[- 2, 2]$ से $f (b)$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f (2) = - 2 {(2)}^{3} + 6 (2) - 2$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (2) = - 2 \cdot 8 + 6 (2) - 2$

चरण 8.2.1.2

$- 2$ को $8$ से गुणा करें.

$f (2) = - 16 + 6 (2) - 2$

चरण 8.2.1.3

$6$ को $2$ से गुणा करें.

$f (2) = - 16 + 12 - 2$

चरण 8.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$- 16$ और $12$ जोड़ें.

$f (2) = - 4 - 2$

चरण 8.2.2.2

$- 4$ में से $2$ घटाएं.

$f (2) = - 6$

चरण 8.2.3

अंतिम उत्तर $- 6$ है.

$- 6$

चरण 9

$x$ के लिए $- 6 x^{2} + 6 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ को हल करें. $- 6 x^{2} + 6 = \frac{- (f (2) + f (- 2))}{- (2 - 2)}$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{(- 6) - (2)}{(2) - (- 2)}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1.1

$(- 6) - (2)$ और $(2) - (- 2)$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1.1.1

$- 6$ को $- 1 (6)$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{- 1 (6) - (2)}{(2) - (- 2)}$

चरण 9.1.1.1.2

$- 1 (6) - (2)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{- 1 (6 + 2)}{(2) - (- 2)}$

चरण 9.1.1.1.3

$- 1 (6 + 2)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{2 (- 1 (3 + 1))}{2 - (- 2)}$

चरण 9.1.1.1.4

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1.1.4.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{2 (- 1 (3 + 1))}{2 (1) - (- 2)}$

चरण 9.1.1.1.4.2

$- (- 2)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{2 (- 1 (3 + 1))}{2 (1) + 2 (- (- 1))}$

चरण 9.1.1.1.4.3

$2 (1) + 2 (- (- 1))$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{2 (- 1 (3 + 1))}{2 (1 - (- 1))}$

चरण 9.1.1.1.4.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{2 (- 1 (3 + 1))}{2 (1 - (- 1))}$

चरण 9.1.1.1.4.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{- 1 (3 + 1)}{1 - (- 1)}$

चरण 9.1.1.2

$3$ और $1$ जोड़ें.

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{- 1 \cdot 4}{1 - (- 1)}$

चरण 9.1.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{- 1 \cdot 4}{1 + 1}$

चरण 9.1.2.2

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{- 1 \cdot 4}{2}$

चरण 9.1.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.3.1

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$- 6 x^{2} + 6 = \frac{- 4}{2}$

चरण 9.1.3.2

$- 4$ को $2$ से विभाजित करें.

$- 6 x^{2} + 6 = - 2$

चरण 9.2

$x$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $6$ घटाएं.

$- 6 x^{2} = - 2 - 6$

चरण 9.2.2

$- 2$ में से $6$ घटाएं.

$- 6 x^{2} = - 8$

चरण 9.3

$- 6 x^{2} = - 8$ के प्रत्येक पद को $- 6$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

$- 6 x^{2} = - 8$ के प्रत्येक पद को $- 6$ से विभाजित करें.

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 8}{- 6}$

चरण 9.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.1

$- 6$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 6 x^{2}}{- 6} = \frac{- 8}{- 6}$

चरण 9.3.2.1.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = \frac{- 8}{- 6}$

चरण 9.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.3.1

$- 8$ और $- 6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.3.1.1

$- 8$ में से $- 2$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} = \frac{- 2 (4)}{- 6}$

चरण 9.3.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.3.1.2.1

$- 6$ में से $- 2$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} = \frac{- 2 \cdot 4}{- 2 \cdot 3}$

चरण 9.3.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{2} = \frac{- 2 \cdot 4}{- 2 \cdot 3}$

चरण 9.3.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{2} = \frac{4}{3}$

चरण 9.4

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

चरण 9.5

$\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.5.1

$\sqrt{\frac{4}{3}}$ को $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

चरण 9.5.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.5.2.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

चरण 9.5.2.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

चरण 9.5.3

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

चरण 9.5.4

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.5.4.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

चरण 9.5.4.2

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

चरण 9.5.4.3

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

चरण 9.5.4.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

चरण 9.5.4.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

चरण 9.5.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.5.4.6.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 9.5.4.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 9.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 9.5.4.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.5.4.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 9.5.4.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

चरण 9.5.4.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

चरण 9.6

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.6.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

चरण 9.6.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

चरण 9.6.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

चरण 10

अंत बिंदुओं $a = - 2$ और $b = 2$ से गुजरने वाली रेखा के समानांतर $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ पर एक स्पर्शरेखा पता की जाती है.

अंतिम बिंदुओं $a = - 2$ और $b = 2$ से गुजरने वाली रेखा के समानांतर $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ पर एक स्पर्शरेखा है.

चरण 11

अंत बिंदुओं $a = - 2$ और $b = 2$ से गुजरने वाली रेखा के समानांतर $x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ पर एक स्पर्शरेखा पता की जाती है.

अंतिम बिंदुओं $a = - 2$ और $b = 2$ से गुजरने वाली रेखा के समानांतर $x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ पर एक स्पर्शरेखा है.

चरण 12