प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{2} - 6 x + k$

चरण 1

अतिपरवलय का मानक रूप पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चर वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x^{2}$ घटाएं.

$y - x^{2} = - 6 x + k$

चरण 1.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $6 x$ जोड़ें.

$y - x^{2} + 6 x = k$

चरण 1.1.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $k$ घटाएं.

$y - x^{2} + 6 x - k = 0$

चरण 1.1.4

$6 x$ ले जाएं.

$y - x^{2} - k + 6 x = 0$

चरण 1.1.5

$y$ ले जाएं.

$- x^{2} - k + y + 6 x = 0$

चरण 1.2

$- x^{2} + 6 x$ के लिए वर्ग पूरा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$a$ , $b$ और $c$ के मान ज्ञात करने के लिए रूप $a x^{2} + b x + c$ का प्रयोग करें.

$a = - 1$

$b = 6$

$c = 0$

चरण 1.2.2

एक परवलय के शीर्ष रूप को लें.

$a {(x + d)}^{2} + e$

चरण 1.2.3

$d = \frac{b}{2 a}$ सूत्र का उपयोग करके $d$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$a$ और $b$ के मानों को $d = \frac{b}{2 a}$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$d = \frac{6}{2 \cdot - 1}$

चरण 1.2.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1

$6$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1.1

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 1}$

चरण 1.2.3.2.1.2

ऋणात्मक को $\frac{3}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$d = - 1 \cdot 3$

चरण 1.2.3.2.2

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$d = - 3$

चरण 1.2.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ सूत्र का उपयोग करके $e$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$c$ , $b$ और $a$ के मानों को सूत्र $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ में प्रतिस्थापित करें.

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 1}$

चरण 1.2.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1.1

$6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

चरण 1.2.4.2.1.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

चरण 1.2.4.2.1.3

$36$ को $- 4$ से विभाजित करें.

$e = 0 - - 9$

चरण 1.2.4.2.1.4

$- 1$ को $- 9$ से गुणा करें.

$e = 0 + 9$

चरण 1.2.4.2.2

$0$ और $9$ जोड़ें.

$e = 9$

चरण 1.2.5

$a$ , $d$ और $e$ के मानों को शीर्ष रूप $- {(x - 3)}^{2} + 9$ में प्रतिस्थापित करें.

$- {(x - 3)}^{2} + 9$

चरण 1.3

समीकरण $- x^{2} - k + y + 6 x = 0$ में $- x^{2} + 6 x$ के स्थान पर $- {(x - 3)}^{2} + 9$ को प्रतिस्थापित करें.

$- {(x - 3)}^{2} + 9 - k + y = 0$

चरण 1.4

दोनों पक्षों में $9$ जोड़कर समीकरण के दाईं ओर $9$ ले जाएं.

$- {(x - 3)}^{2} - k + y = 0 - 9$

चरण 1.5

$0$ में से $9$ घटाएं.

$- {(x - 3)}^{2} - k + y = - 9$

चरण 2

यह अतिपरवलय का रूप है. अतिपरवलय के शीर्ष और स्पर्शोन्मुख को खोजने के लिए उपयोग किए गए मानों को निर्धारित करने के लिए इस रूप का उपयोग करें.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

चरण 3

इस अतिपरवलय के मान को मानक रूप के मान से सुमेलित कीजिए. चर $h$ मूल से x- ऑफ़सेट का प्रतिनिधित्व करता है, $k$ मूल से y- ऑफ़सेट का प्रतिनिधित्व करता है, $a$ .

$a = 1$

$b = 1$

$k = 0$

$h = 3$

चरण 4

अतिपरवलय का केंद्र $(h, k)$ के रूप का अनुसरण करता है. $h$ और $k$ के मानों को प्रतिस्थापित करें.

$(3, 0)$

चरण 5

$c$ , केंद्र से नाभि तक दूरी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

निम्न सूत्र का उपयोग करके अतिपरवलय के केंद्र से नाभि तक की दूरी पता करें.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

चरण 5.2

सूत्र में $a$ और $b$ के मान प्रतिस्थापित करें.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

चरण 5.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

चरण 5.3.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\sqrt{1 + 1}$

चरण 5.3.3

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\sqrt{2}$

चरण 6

शीर्ष बिंदु को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

अतिपरवलय का पहला शीर्ष $a$ को $k$ में जोड़कर पता किया जा सकता है.

$(h, k + a)$

चरण 6.2

$h$ , $a$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(3, 1)$

चरण 6.3

अतिपरवलय का दूसरा शीर्ष $a$ को $k$ से घटाकर पता किया जा सकता है.

$(h, k - a)$

चरण 6.4

$h$ , $a$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(3, - 1)$

चरण 6.5

अतिपरवलय के शीर्ष $(h, k \pm a)$ के रूप का अनुसरण करते हैं. अतिपरवलय के दो शीर्ष होते हैं.

$(3, 1), (3, - 1)$

चरण 7

नाभियाँ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

अतिपरवलय का पहला फोकस $c$ को $k$ में जोड़कर पता किया जा सकता है.

$(h, k + c)$

चरण 7.2

$h$ , $c$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(3, \sqrt{2})$

चरण 7.3

अतिपरवलय का दूसरा फोकस $c$ को $k$ से घटाकर पता किया जा सकता है.

$(h, k - c)$

चरण 7.4

$h$ , $c$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

$(3, - \sqrt{2})$

चरण 7.5

अतिपरवलय का फोकस $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ के रूप का अनुसरण करता है. अतिपरवलयों के दो फोकस होते हैं.

$(3, \sqrt{2}), (3, - \sqrt{2})$

चरण 8

नाभीय मानदंड पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

निम्न सूत्र का उपयोग करके अतिपरवलय के फोकल पैरामीटर का मान पता करें.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

चरण 8.2

सूत्र में $b$ और $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ के मान प्रतिस्थापित करें.

$\frac{1^{2}}{\sqrt{2}}$

चरण 8.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

चरण 8.3.2

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

चरण 8.3.3

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.3.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ को $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

चरण 8.3.3.2

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

चरण 8.3.3.3

$\sqrt{2}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

चरण 8.3.3.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

चरण 8.3.3.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

चरण 8.3.3.6

${\sqrt{2}}^{2}$ को $2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.3.6.1

$\sqrt{2}$ को $2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 8.3.3.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 8.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

चरण 8.3.3.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.3.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

चरण 8.3.3.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

चरण 8.3.3.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

चरण 9

स्पर्शोन्मुख रूप $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ का अनुसरण करते हैं क्योंकि यह अतिपरवलय ऊपर और नीचे खुलता है.

$y = \pm 1 \cdot (x - (3)) + 0$

चरण 10

प्रथम स्पर्शोन्मुख को ज्ञात करने के लिए सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = 1 \cdot (x - (3)) + 0$

चरण 10.2

$1 \cdot (x - (3)) + 0$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

$1 \cdot (x - (3))$ और $0$ जोड़ें.

$y = 1 \cdot (x - (3))$

चरण 10.2.2

$x - (3)$ को $1$ से गुणा करें.

$y = x - (3)$

चरण 10.2.3

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$y = x - 3$

चरण 11

दूसरा स्पर्शोन्मुख ज्ञात करने के लिए सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = - 1 \cdot (x - (3)) + 0$

चरण 11.2

$- 1 \cdot (x - (3)) + 0$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1.1

$- 1 \cdot (x - (3))$ और $0$ जोड़ें.

$y = - 1 \cdot (x - (3))$

चरण 11.2.1.2

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$y = - 1 \cdot (x - 3)$

चरण 11.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = - 1 x - 1 \cdot - 3$

चरण 11.2.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.3.1

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = - x - 1 \cdot - 3$

चरण 11.2.3.2

$- 1$ को $- 3$ से गुणा करें.

$y = - x + 3$

चरण 12

इस अतिपरवलय में दो स्पर्शोन्मुख होते हैं.

$y = x - 3, y = - x + 3$

चरण 13

ये मान अतिपरवलय के ग्राफ और विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं.

केंद्र: $(3, 0)$

शीर्ष: $(3, 1), (3, - 1)$

फ़ॉसी: $(3, \sqrt{2}), (3, - \sqrt{2})$

उत्क्रेंद्रता: $(3, \sqrt{2}), (3, - \sqrt{2})$

फोकल पैरामीटर: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

अनंतस्पर्शी: $y = x - 3$ , $y = - x + 3$

चरण 14