प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$

चरण 1

पता करें कि व्यंजक/अभिव्यक्ति $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ कहाँ अपरिभाषित है.

$- 1 \leq x \leq 0$

चरण 2

चूँकि $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ को बाईं ओर से $x$ $\to$ $- 1$ और $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ को दाईं ओर से $x$ $\to$ $- 1$ के रूप में, फिर (EQUATION6 ) एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है.

$x = - 1$

चरण 3

चूँकि $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ को बाईं ओर से $x$ $\to$ $0$ और $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ को दाईं ओर से $x$ $\to$ $0$ के रूप में, फिर (EQUATION6 ) एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है.

$x = 0$

चरण 4

सभी ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी की सूची बनाएंं:

$x = - 1, 0$

चरण 5

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट पता करने के लिए $lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$x^{2} + x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x}}$

चरण 5.1.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x^{1}}}$

चरण 5.1.3

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot 1}}$

चरण 5.1.4

$x \cdot x + x \cdot 1$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x (x + 1)}}$

चरण 5.2

न्यूमेरेटर और भाजक को भाजक में $x$ की उच्चतम घात से विभाजित करें, जो कि $x = \sqrt{x^{2}}$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 3 x}{x} + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

चरण 5.3

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

चरण 5.4

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

चरण 5.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

चरण 5.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

चरण 5.5

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

जैसे ही $x$ $\infty$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{x \to \infty} - 3 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

चरण 5.5.2

जैसे-जैसे $x$ $\infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{- lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

चरण 5.5.3

$3$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

चरण 5.6

चूँकि इसका न्यूमेरेटर एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है, जबकि इसका भाजक असीम होता है, इसलिए भिन्न $\frac{1}{x}$ $0$ के करीब पहुंच जाता है.

$\frac{- 3 + 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

चरण 5.7

रेडिकल साइन के तहत सीमा को स्थानांतरित करें.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x}}}$

चरण 5.8

न्यूमेरेटर और भाजक को भाजक में $x$ की उच्चतम घात से विभाजित करें, जो कि $x$ है.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

चरण 5.9

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.9.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.9.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

चरण 5.9.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

चरण 5.9.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.9.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

चरण 5.9.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1}}}$

चरण 5.9.3

जैसे ही $x$ $\infty$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

चरण 5.9.4

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

चरण 5.9.5

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

चरण 5.10

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

चरण 5.11

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.11.1

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}$

चरण 5.11.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.11.2.1

$1 + 0$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{1 + 0}}$

चरण 5.11.2.2

$- 3$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{- 3}{\sqrt{1 + 0}}$

चरण 5.11.2.3

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.11.2.3.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{- 3}{\sqrt{1}}$

चरण 5.11.2.3.2

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$\frac{- 3}{1}$

चरण 5.11.2.4

$- 3$ को $1$ से विभाजित करें.

$- 3$

चरण 6

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट पता करने के लिए $lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x^{2} + x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x}}$

चरण 6.1.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x^{1}}}$

चरण 6.1.3

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot 1}}$

चरण 6.1.4

$x \cdot x + x \cdot 1$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x (x + 1)}}$

चरण 6.2

न्यूमेरेटर और भाजक को भाजक में $x$ की उच्चतम घात से विभाजित करें, जो कि $x = - \sqrt{x^{2}}$ है.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{- 3 x}{x} + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

चरण 6.3

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

चरण 6.4

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

चरण 6.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

चरण 6.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

चरण 6.5

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

जैसे ही $x$ $- \infty$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{lim_{x \to - \infty} - 3 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

चरण 6.5.2

जैसे-जैसे $x$ $- \infty$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{- lim_{x \to - \infty} 3 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

चरण 6.5.3

$3$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $- \infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

चरण 6.6

$\frac{- 3 + 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

चरण 6.7

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.1

$- 1$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{- 3 + 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

चरण 6.7.2

रेडिकल साइन के तहत सीमा को स्थानांतरित करें.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1}{x}}}$

चरण 6.8

न्यूमेरेटर और भाजक को भाजक में $x$ की उच्चतम घात से विभाजित करें, जो कि $x$ है.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

चरण 6.9

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.9.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.9.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

चरण 6.9.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

चरण 6.9.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.9.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

चरण 6.9.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1}}}$

चरण 6.9.3

जैसे ही $x$ $- \infty$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

चरण 6.9.4

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

चरण 6.9.5

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $- \infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

चरण 6.10

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

चरण 6.11

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.11.1

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $- \infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}$

चरण 6.11.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.11.2.1

$1 + 0$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{1 + 0}}$

चरण 6.11.2.2

$- 3$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{- 3}{- \sqrt{1 + 0}}$

चरण 6.11.2.3

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.11.2.3.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{- 3}{- \sqrt{1}}$

चरण 6.11.2.3.2

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$\frac{- 3}{- 1 \cdot 1}$

चरण 6.11.2.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- 3}{- 1}$

चरण 6.11.2.5

$- 3$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$3$

चरण 7

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट की सूची बनाएंं:

$y = - 3, 3$

चरण 8

तिरछी अनंतस्पर्शी को पता करने के लिए बहुपद भाजन का उपयोग करें. चूँकि इस व्यंजक में एक मूलांक है, इसलिए बहुपद भाजन नहीं किया जा सकता है.

परोक्ष अनंतस्पर्शी नहीं ढूँढ सकता

चरण 9

यह सभी अनंतस्पर्शी का सेट है.

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी: $x = - 1, 0$

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट: $y = - 3, 3$

परोक्ष अनंतस्पर्शी नहीं ढूँढ सकता

चरण 10