प्री-कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{2}$ ; find $f^{- 1} (x)$

चरण 1

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{2}$ को एक समीकरण के रूप में लिखें.

$y = \frac{\sqrt{x}}{2}$

चरण 2

चर को एकदूसरे के साथ बदलें.

$x = \frac{\sqrt{y}}{2}$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण को $\frac{\sqrt{y}}{2} = x$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\sqrt{y}}{2} = x$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 \frac{\sqrt{y}}{2} = 2 x$

चरण 3.3

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{\sqrt{y}}{2} = 2 x$

चरण 3.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\sqrt{y} = 2 x$

चरण 3.4

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें.

${\sqrt{y}}^{2} = {(2 x)}^{2}$

चरण 3.5

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$\sqrt{y}$ को $y^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

चरण 3.5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1.1

घातांक को ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

चरण 3.5.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

चरण 3.5.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y^{1} = {(2 x)}^{2}$

चरण 3.5.2.1.2

सरल करें.

$y = {(2 x)}^{2}$

चरण 3.5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1

${(2 x)}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1.1

उत्पाद नियम को $2 x$ पर लागू करें.

$y = 2^{2} x^{2}$

चरण 3.5.3.1.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = 4 x^{2}$

चरण 4

अंतिम उत्तर दिखाने के लिए $y$ को $f^{- 1} (x)$ से बदलें.

$f^{- 1} (x) = 4 x^{2}$

चरण 5

सत्यापित करें कि क्या $f^{- 1} (x) = 4 x^{2}$ , $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{2}$ का व्युत्क्रम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्युत्क्रम सत्यापित करने के लिए, जांचें कि क्या $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

चरण 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f^{- 1} (f (x))$

चरण 5.2.2

$f^{- 1}$ में $f$ का मान प्रतिस्थापित करके $f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2})$ का मान ज्ञात करें.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 {(\frac{\sqrt{x}}{2})}^{2}$

चरण 5.2.3

उत्पाद नियम को $\frac{\sqrt{x}}{2}$ पर लागू करें.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{{\sqrt{x}}^{2}}{2^{2}})$

चरण 5.2.4

${\sqrt{x}}^{2}$ को $x$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

चरण 5.2.4.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

चरण 5.2.4.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

चरण 5.2.4.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

चरण 5.2.4.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{x}{2^{2}})$

चरण 5.2.4.5

सरल करें.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{x}{2^{2}})$

चरण 5.2.5

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{x}{4})$

चरण 5.2.6

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{x}{4})$

चरण 5.2.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = x$

चरण 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f (f^{- 1} (x))$

चरण 5.3.2

$f$ में $f^{- 1}$ का मान प्रतिस्थापित करके $f (4 x^{2})$ का मान ज्ञात करें.

$f (4 x^{2}) = \frac{\sqrt{4 x^{2}}}{2}$

चरण 5.3.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

$4 x^{2}$ को ${(2 x)}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (4 x^{2}) = \frac{\sqrt{{(2 x)}^{2}}}{2}$

चरण 5.3.3.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$f (4 x^{2}) = \frac{2 x}{2}$

चरण 5.3.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (4 x^{2}) = \frac{2 x}{2}$

चरण 5.3.4.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (4 x^{2}) = x$

चरण 5.4

चूँकि $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ , तो $f^{- 1} (x) = 4 x^{2}$ , $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{2}$ का व्युत्क्रम है.

$f^{- 1} (x) = 4 x^{2}$