प्री-कैलकुलस उदाहरण

$G (x) = \frac{x^{4} - 1}{x^{2} - x}$

चरण 1

पता करें कि व्यंजक/अभिव्यक्ति $\frac{x^{4} - 1}{x^{2} - x}$ कहाँ अपरिभाषित है.

$x = 0, x = 1$

चरण 2

चूँकि $\frac{x^{4} - 1}{x^{2} - x}$ $\to$ $- \infty$ को बाईं ओर से $x$ $\to$ $0$ और $\frac{x^{4} - 1}{x^{2} - x}$ $\to$ $\infty$ को दाईं ओर से $x$ $\to$ $0$ के रूप में, फिर (EQUATION6 ) एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है.

$x = 0$

चरण 3

परिमेय फलन $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ पर विचार करें जहां $n$ न्यूमेरेटर की घात है और $m$ भाजक की घात है.

1. यदि $n < m$ , तो x-अक्ष, $y = 0$ , हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट है.

2. यदि $n = m$ है, तो हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट रेखा $y = \frac{a}{b}$ है.

3. यदि $n > m$ है, तो कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है (एक तिरछी अनंतस्पर्शी है).

चरण 4

$n$ और $m$ पता करें.

$n = 4$

$m = 2$

चरण 5

चूंकि $n > m$ , कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं है.

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

चरण 6

बहुपद भाजन का उपयोग करके तिरछी अनंतस्पर्शी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.1

$x^{4}$ को ${(x^{2})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 1}{x^{2} - x}$

चरण 6.1.1.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 1^{2}}{x^{2} - x}$

चरण 6.1.1.3

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x^{2}$ और $b = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (x^{2} - 1)}{x^{2} - x}$

चरण 6.1.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.4.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{(x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})}{x^{2} - x}$

चरण 6.1.1.4.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = x$ और $b = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x^{2} - x}$

चरण 6.1.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1

$x^{2} - x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.1.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x \cdot x - x}$

चरण 6.1.2.1.2

$- x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x \cdot x + x \cdot - 1}$

चरण 6.1.2.1.3

$x \cdot x + x \cdot - 1$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)}$

चरण 6.1.2.2

$x - 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)}$

चरण 6.1.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{(x^{2} + 1) (x + 1)}{x}$

चरण 6.2

$(x^{2} + 1) (x + 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} (x + 1) + 1 (x + 1)}{x}$

चरण 6.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + 1 (x + 1)}{x}$

चरण 6.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1}{x}$

चरण 6.2.4

$x^{2}$ और $1$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{x^{2} x + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x}$

चरण 6.2.5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{x^{2} x + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x}$

चरण 6.2.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{x^{2 + 1} + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x}$

चरण 6.2.7

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{x^{3} + 1 x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x}$

चरण 6.2.8

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{3} + x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1}{x}$

चरण 6.2.9

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{3} + x^{2} + x + 1 \cdot 1}{x}$

चरण 6.2.10

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{3} + x^{2} + x + 1}{x}$

चरण 6.3

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$0$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

चरण 6.4

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$

चरण 6.5

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$0$

चरण 6.6

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} + 0$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$

चरण 6.7

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$x^{2}$

चरण 6.8

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$x^{2}$	+	$x$

चरण 6.9

भाज्य $x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$x^{2}$	+	$x$

चरण 6.10

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$0$

चरण 6.11

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{2} + 0$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	-	$0$

चरण 6.12

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	-	$0$
							+	$x$

चरण 6.13

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	-	$0$
							+	$x$	+	$1$

चरण 6.14

भाज्य $x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	-	$0$
							+	$x$	+	$1$

चरण 6.15

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	-	$0$
							+	$x$	+	$1$
							+	$x$	+	$0$

चरण 6.16

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x + 0$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	-	$0$
							+	$x$	+	$1$
							-	$x$	-	$0$

चरण 6.17

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$0$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$0$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	-	$0$
							+	$x$	+	$1$
							-	$x$	-	$0$
									+	$1$

चरण 6.18

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$x^{2} + x + 1 + \frac{1}{x}$

चरण 6.19

हल को बहुपद भाग और शेष भाग में विभाजित करें.

$x^{2} + x + 1 + \frac{x - 1}{x^{2} - x}$

चरण 6.20

तिरछी अनंतस्पर्शी दीर्घ विभाजन परिणाम का लंबा भाग है.

$y = x^{2} + x + 1$

चरण 7

यह सभी अनंतस्पर्शी का सेट है.

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी: $x = 0$

कोई हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट नहीं

तिरछी अनंतस्पर्शी: $y = x^{2} + x + 1$

चरण 8