प्री-कैलकुलस उदाहरण

$\log_{4} (x^{- 1} - 2) = 1$

चरण 1

यह पता लगाने के लिए कि व्यंजक कहाँ परिभाषित है, तर्क को $\log_{4} (x^{- 1} - 2)$ से बड़ा $0$ में सेट करें.

$x^{- 1} - 2 > 0$

चरण 2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{x} - 2 > 0$

चरण 2.2

असमानता के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$\frac{1}{x} > 2$

चरण 2.3

दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x} x = 2 x$

चरण 2.4

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{x} x = 2 x$

चरण 2.4.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 = 2 x$

चरण 2.5

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

समीकरण को $2 x = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 x = 1$

चरण 2.5.2

$2 x = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

$2 x = 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 2.5.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

चरण 2.5.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{1}{2}$

चरण 2.6

$x^{- 1} - 2$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

यह पता लगाने के लिए कि व्यंजक कहाँ अपरिभाषित है, आधार को $x^{- 1}$ में $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 2.6.2

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

चरण 2.7

परीक्षण अंतराल बनाने के लिए प्रत्येक मूल का प्रयोग करें.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

चरण 2.8

प्रत्येक अंतराल से एक परीक्षण मान चुनें और यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से अंतराल असमानता को संतुष्ट करते हैं, इस मान को मूल असमानता में प्लग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1

अंतराल $x < 0$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1.1

अंतराल $x < 0$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 2$

चरण 2.8.1.2

मूल असमानता में $x$ को $- 2$ से बदलें.

${(- 2)}^{- 1} - 2 > 0$

चरण 2.8.1.3

बाईं ओर $- 2.5$ दाईं ओर $0$ से बड़ा नहीं है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

असत्य

चरण 2.8.2

अंतराल $0 < x < \frac{1}{2}$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.2.1

अंतराल $0 < x < \frac{1}{2}$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 0.25$

चरण 2.8.2.2

मूल असमानता में $x$ को $0.25$ से बदलें.

${(0.25)}^{- 1} - 2 > 0$

चरण 2.8.2.3

बाईं ओर $2$ दाईं ओर $0$ से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

सत्य

चरण 2.8.3

अंतराल $x > \frac{1}{2}$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.3.1

अंतराल $x > \frac{1}{2}$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 3$

चरण 2.8.3.2

मूल असमानता में $x$ को $3$ से बदलें.

${(3)}^{- 1} - 2 > 0$

चरण 2.8.3.3

बाईं ओर $- 1.\overline{6}$ दाईं ओर $0$ से बड़ा नहीं है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

असत्य

चरण 2.8.4

यह निर्धारित करने के लिए अंतराल की तुलना करें कि कौन से तत्व मूल असमानता को संतुष्ट करते हैं.

$x < 0$ गलत

$0 < x < \frac{1}{2}$ सही

$x > \frac{1}{2}$ गलत

$x < 0$ गलत

$0 < x < \frac{1}{2}$ सही

$x > \frac{1}{2}$ गलत

चरण 2.9

हल में सभी सच्चे अंतराल होते हैं.

$0 < x < \frac{1}{2}$

चरण 3

$x = 0$

चरण 4

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(0, \frac{1}{2})$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | 0 < x < \frac{1}{2}}$

चरण 5