प्री-कैलकुलस उदाहरण

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{12} = 1$

चरण 1

दाईं ओर $1$ के बराबर सेट करने के लिए समीकरण में प्रत्येक पद को सरल करें. दीर्घवृत्त या अतिपरवलय के मानक रूप के लिए समीकरण के दाएं पक्ष की ओर $1$ होना आवश्यक है.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{12} = 1$

चरण 2

यह एक दीर्घवृत्त का रूप है. दीर्घवृत्त के प्रमुख और लघु अक्ष के साथ केंद्र को पता करने के लिए उपयोग किए गए मानों को निर्धारित करने के लिए इस फॉर्म का उपयोग करें.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

चरण 3

इस दीर्घवृत्त के मान को मानक रूप के मान से सुमेलित कीजिए. चर $a$ दीर्घवृत्त के दीर्घ अक्ष की त्रिज्या का प्रतिनिधित्व करता है, $b$ दीर्घवृत्त के लघु अक्ष की त्रिज्या का प्रतिनिधित्व करता है, $h$ मूल से x-ऑफ़सेट का प्रतिनिधित्व करता है और $k$ मूल से y- ऑफसेट का प्रतिनिधित्व करता है.

$a = 2 \sqrt{3}$

$b = 2$

$k = 1$

$h = 1$

चरण 4

दीर्घवृत्त का केंद्र $(h, k)$ के रूप का अनुसरण करता है. $h$ और $k$ के मानों को प्रतिस्थापित करें.

$(1, 1)$

चरण 5

$c$ , केंद्र से नाभि तक दूरी पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

निम्न सूत्र का उपयोग करके दीर्घवृत्त के केंद्र से नाभि तक की दूरी पता करें.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

चरण 5.2

सूत्र में $a$ और $b$ के मान प्रतिस्थापित करें.

$\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(2)}^{2}}$

चरण 5.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.1

उत्पाद नियम को $2 \sqrt{3}$ पर लागू करें.

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} - {(2)}^{2}}$

चरण 5.3.1.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} - {(2)}^{2}}$

चरण 5.3.2

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(2)}^{2}}$

चरण 5.3.2.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(2)}^{2}}$

चरण 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(2)}^{2}}$

चरण 5.3.2.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(2)}^{2}}$

चरण 5.3.2.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\sqrt{4 \cdot 3^{1} - {(2)}^{2}}$

चरण 5.3.2.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\sqrt{4 \cdot 3 - {(2)}^{2}}$

चरण 5.3.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$\sqrt{12 - {(2)}^{2}}$

चरण 5.3.3.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\sqrt{12 - 1 \cdot 4}$

चरण 5.3.3.3

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$\sqrt{12 - 4}$

चरण 5.3.3.4

$12$ में से $4$ घटाएं.

$\sqrt{8}$

चरण 5.3.4

$8$ को $2^{2} \cdot 2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\sqrt{4 (2)}$

चरण 5.3.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\sqrt{2^{2} \cdot 2}$

चरण 5.3.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$2 \sqrt{2}$

चरण 6

शीर्ष बिंदु को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

दीर्घवृत्त का पहला शीर्ष $a$ को $k$ में जोड़कर पता किया जा सकता है.

$(h, k + a)$

चरण 6.2

$h$ , $a$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$(1, 1 + 2 \sqrt{3})$

चरण 6.3

दीर्घवृत्त का दूसरा शीर्ष $a$ को $k$ से घटाकर पता किया जा सकता है.

$(h, k - a)$

चरण 6.4

$h$ , $a$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$(1, 1 - (2 \sqrt{3}))$

चरण 6.5

सरल करें.

$(1, 1 - 2 \sqrt{3})$

चरण 6.6

दीर्घवृत्त के दो केंद्र शीर्ष होते हैं.

${Vertex}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{3})$

चरण 7

नाभियाँ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

दीर्घवृत्त का पहला फोकस $c$ को $k$ में जोड़कर पता किया जा सकता है.

$(h, k + c)$

चरण 7.2

$h$ , $c$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$(1, 1 + 2 \sqrt{2})$

चरण 7.3

दीर्घवृत्त का पहला फोकस $c$ को $k$ से घटाकर पता किया जा सकता है.

$(h, k - c)$

चरण 7.4

$h$ , $c$ और $k$ के ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$(1, 1 - (2 \sqrt{2}))$

चरण 7.5

सरल करें.

$(1, 1 - 2 \sqrt{2})$

चरण 7.6

दीर्घवृत्त के दो केंद्र बिंदु होते हैं.

${Focus}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{2})$

चरण 8

उत्केंद्रता पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके उत्केंद्रता ज्ञात करें.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

चरण 8.2

सूत्र में $a$ और $b$ के मानों को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} - {(2)}^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

चरण 8.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1

उत्पाद नियम को $2 \sqrt{3}$ पर लागू करें.

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

चरण 8.3.1.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

चरण 8.3.1.3

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.3.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{\sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

चरण 8.3.1.3.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

चरण 8.3.1.3.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

चरण 8.3.1.3.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.3.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

चरण 8.3.1.3.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3^{1} - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

चरण 8.3.1.3.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 3 - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

चरण 8.3.1.4

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{\sqrt{12 - 2^{2}}}{2 \sqrt{3}}$

चरण 8.3.1.5

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\sqrt{12 - 1 \cdot 4}}{2 \sqrt{3}}$

चरण 8.3.1.6

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{\sqrt{12 - 4}}{2 \sqrt{3}}$

चरण 8.3.1.7

$12$ में से $4$ घटाएं.

$\frac{\sqrt{8}}{2 \sqrt{3}}$

चरण 8.3.1.8

$8$ को $2^{2} \cdot 2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.8.1

$8$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\sqrt{4 (2)}}{2 \sqrt{3}}$

चरण 8.3.1.8.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \sqrt{3}}$

चरण 8.3.1.9

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}$

चरण 8.3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}}$

चरण 8.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

चरण 8.3.3

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

चरण 8.3.4

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.4.1

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ को $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ से गुणा करें.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

चरण 8.3.4.2

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

चरण 8.3.4.3

$\sqrt{3}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

चरण 8.3.4.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

चरण 8.3.4.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

चरण 8.3.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ को $3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.4.6.1

$\sqrt{3}$ को $3^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 8.3.4.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 8.3.4.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 8.3.4.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.4.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

चरण 8.3.4.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

चरण 8.3.4.6.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

चरण 8.3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.5.1

रेडिकल के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करके जोड़ें.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

चरण 8.3.5.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

चरण 9

ये मान एक दीर्घवृत्त के ग्राफ और विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं.

केंद्र: $(1, 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(1, 1 + 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(1, 1 - 2 \sqrt{2})$

उत्क्रेंद्रता: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

चरण 10